الفلك

كيف يؤثر حجم الثقب الأسود العاري على كرة الفوتون الخاصة به؟

كيف يؤثر حجم الثقب الأسود العاري على كرة الفوتون الخاصة به؟


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

ما هو تأثير حجم الثقب الأسود على حجم أو كثافة كرة الفوتون وقربها من الأفق؟

على سبيل المثال: شخص في الفضاء ينظر إلى ثقبين أسودين ، أحدهما كبير والآخر صغير. هل يمكن أن يبدو الأكبر أصغر بسبب الطريقة التي ينحني بها الفضاء حوله؟

إذا كانت الإجابة بنعم ، فهل يمكن إخفاء ثقب أسود كبير بما يكفي خلف عدسة الجاذبية؟ هل يمكن أن تبدو الكرة الفوتونية الكثيفة حول الثقب الأسود وكأنها تشويه كروي لتشويه الأفق أو إخفاء الثقب الأسود تمامًا؟


يدرس الباحثون الثقوب السوداء لقياس كتلة الفوتون

رسم تخطيطي لتأثير "قنبلة الثقب الأسود". يمكن تضخيم الموجة التي تُلقى على ثقب أسود عند الانعكاس ، واستخراج طاقة الدوران وتدوير الثقب الأسود. تعمل كتلة الجسيم مثل "جدار" للموجات الخارجة (ممثلة بالكرة المحيطة في هذا الشكل) ، لذلك تتكرر عملية الانعكاس / التضخيم وتسبب عدم استقرار. الائتمان: آنا سوزا.

(Phys.org) —حدد فريق عالمي من العلماء ، بما في ذلك عالم فيزياء من جامعة ميسيسيبي ، أفضل قيد على كتلة الفوتونات حتى الآن ، باستخدام ملاحظات الثقوب السوداء فائقة الكتلة.

تظهر نتائج البحث في عدد سبتمبر من رسائل المراجعة البدنية، واحدة من أكثر المجلات الأكاديمية المرموقة والمراجعة من قبل الأقران في هذا المجال. شارك في تأليف "قنابل الثقب الأسود وحدود كتلة الفوتون" إيمانويل بيرتي ، الأستاذ المساعد للفيزياء وعلم الفلك في جامعة UM ، جنبًا إلى جنب مع زملائه الباحثين باولو باني وفيتور كاردوزو وليوناردو جوالتيري وأكيهيرو إيشيباشي.

توضح هذه الورقة بالتفصيل كيف وجد العلماء ، الذين يعملون في البرتغال وإيطاليا واليابان والولايات المتحدة ، طريقة لاستخدام الملاحظات الفيزيائية الفلكية لاختبار جانب أساسي من النموذج القياسي - أي أن الفوتونات ليس لها كتلة - أفضل من أي شخص من قبل.

قال بيرتي: "الاختبار يعمل على هذا النحو: إذا كانت الفوتونات لها كتلة ، فإنها ستؤدي إلى عدم استقرار من شأنه أن يدور جميع الثقوب السوداء في الكون". "لكن علماء الفلك يخبروننا أن الثقوب السوداء العملاقة فائقة الكتلة في مراكز المجرات تدور ، لذا فإن عدم الاستقرار هذا لا يمكن أن يكون قويًا للغاية.

"كتلة الفوتون ، إذا كان له كتلة على الإطلاق ، يجب أن تكون صغيرة للغاية."

قال باني ، المؤلف الرئيسي للورقة البحثية: "الفوتونات فائقة الخفة ذات الكتلة غير الصفرية ستنتج" قنبلة ثقب أسود ": عدم استقرار قوي من شأنه أن يستخرج الطاقة من الثقب الأسود بسرعة كبيرة. "إن وجود مثل هذه الجسيمات مقيد بملاحظة دوران الثقوب السوداء. باستخدام هذه التقنية ، نجحنا في تقييد كتلة الفوتون إلى مستويات غير مسبوقة: يجب أن تكون الكتلة أصغر بمئات المليارات من المرات من القيد الحالي على كتلة النيوترينو ، وهي حوالي 2 إلكترون فولت. "

يمكن استخدام نتائج هذه الدراسة للتحقيق في وجود جسيمات جديدة ، مثل تلك التي من المحتمل أن تساهم في المادة المظلمة التي هي موضوع البحث باستخدام مصادم الهادرونات الكبير في CERN في جنيف. CERN هو الموقع الذي تم الإبلاغ فيه عن اكتشاف هيجز بوزون في وقت سابق من هذا العام.

قال جوالتيري: "سد هذا الاكتشاف أحد أهم الفجوات في فهمنا للنموذج القياسي لفيزياء الجسيمات ، لأنه يشرح كيفية حصول الجسيمات على كتلتها". "ومع ذلك ، ليست كل الجسيمات لها كتلة. تحرز الفيزياء تقدمًا من خلال اختبار كل زاوية وركن من نظرياتنا المقبولة عمومًا. لذلك ، إذا كنا نعتقد أن الجسيم ليس له كتلة ، فمن الأفضل اختبار هذه الفكرة بتجارب دقيقة.

"قد توفر أرصاد الثقوب السوداء فائقة الكتلة رؤى جديدة لا يمكن الوصول إليها في التجارب المعملية. سيكون هذا بالتأكيد مثيرًا. ربما تعطينا هذه الحدود الجديدة في الفيزياء الفلكية فهمًا أوضح للكون المجهري."

قال بيرتي: "أنا وباولو وفيتور وليوناردو جميعًا جزء من شبكة IRSES حول 'النسبية العددية وفيزياء الطاقة العالية' التي يمولها الاتحاد الأوروبي". "قدم باولو حديثًا عن هذا العمل في الاجتماع الأول لشبكتنا الذي عقد في أفيرو بالبرتغال في يوليو. سيتم استخدام هذه الشبكة في السنوات الأربع القادمة لتعزيز تعاوننا بشكل أكبر."


إلقاء النسبية الخاصة تحت الحافلة

تنص الفرضية الأساسية للنسبية الخاصة على أن سرعة الضوء هي نفسها لجميع المراقبين. طرح أينشتاين هذه الفرضية ، ثم استخدمها لاستنباط بعض النتائج المدهشة للنسبية الخاصة - مثل E = mc 2. هذه الفرضية هي جوهر صخر نظريته في النسبية ويمكن اعتبارها واحدة من أبسط "حقائق" واقعنا - أو على الأقل عن زماننا المكاني.

ومع ذلك ، بمجرد أن بدأ أينشتاين في التفكير في كيفية تمديد SR إلى وضع أكثر عمومية ، أدرك على الفور تقريبًا أنه سيتعين عليه التخلص من هذه الفرضية. في حين أن سرعة الضوء المقاسة محليًا تساوي دائمًا c ، فإن السرعة الظاهرة للضوء التي يلاحظها مراقب بعيد (بعيدًا عن جسم الجاذبية) يتم تعديلها عن طريق تمدد وقت الجاذبية وتقلص الطول. هذا يعني أن السرعة الظاهرة للضوء ، كما هو ملاحظ من مسافة بعيدة ، تختلف حسب الموضع. من هذا الاستنتاج البسيط استخلص أينشتاين أول تقدير لانحراف الشمس عن الضوء ، على الرغم من أنه كان في البداية بعيدًا عن العامل 2. (القصة الكاملة لاشتقاق أينشتاين لانحراف الضوء عن طريق الشمس والتأكيد من قبل إدينجتون هو في الفصل السابع من Galileo Unbound (مطبعة جامعة أكسفورد ، 2018).)


يقدر الفيزيائي تأثير المادة المظلمة على ظل الثقب الأسود

الائتمان: جامعة RUDN

طور عالم فيزياء من جامعة RUDN صيغة لتقييم تأثير المادة المظلمة على حجم ظل الثقب الأسود. اتضح أن التأثير لن يكون ملحوظًا إلا إذا كان تركيز هذا الشكل الافتراضي للمادة حول الثقوب السوداء في مراكز المجرات مرتفعًا بشكل غير طبيعي. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فمن غير المرجح أن يتم اكتشاف المادة المظلمة باستخدام ظل الثقب الأسود. تم نشر العمل في المجلة رسائل الفيزياء ب: فيزياء الجسيمات الأولية والنووية والطاقة العالية.

في أبريل 2019 ، تلقى Event Horizon Telescope أول صورة على الإطلاق لظل ثقب أسود هائل يقع في وسط مجرة ​​M87. للحصول على هذه اللقطة ، كان على علماء الفلك الجمع بين ثمانية مراصد موجودة حول العالم. لا تحتوي الصورة على دقة كافية لتحديد هندسة الثقب الأسود المركزي بوضوح ، لكن الباحثين يأملون في تحقيق جودة أعلى في المستقبل. سيسمح تحديد شكل ظلها لعلماء الفلك باختبار إصدارات مختلفة من نظرية الجاذبية ، وربما إيجاد "جسر" يجمع بين ميكانيكا الكم والنظرية النسبية العامة.

تساءل رومان كونوبليا ، الأستاذ المشارك في المعهد التربوي والعلمي للجاذبية وعلم الكونيات بجامعة RUDN ، عما إذا كانت المادة المظلمة الافتراضية ، التي تمثل حوالي 85 بالمائة من كل المادة في الكون ، يمكن أن يكون لها تأثير مرئي على الشكل ونصف القطر. ظل الثقب الأسود - بقعة مظلمة تظهر بسبب انحناء مسارات الفوتونات في مجال الجاذبية الفائق القوة لمثل هذا الجسم. حصل عالم الكونيات على صيغة تجعل من الممكن تحديد التغيير في نصف قطر الظل اعتمادًا على كمية المادة المظلمة المحيطة به.

قام عالم الكونيات RUDN بفحص نموذج كروي بسيط لثقب أسود غير دوار (Schwarzschild) محاط بهالة من المادة المظلمة. ثم طور معادلة عامة لقياس نصف قطر ظل الثقب الأسود من خلال النظر في معادلة قياس الفضاء لحالة المادة المظلمة.

تعتمد حلول المعادلة على الموضع النسبي لكرة الفوتون والقشرة المتناثرة للمادة المظلمة - الهالة. إن كرة الفوتون هي أصغر نصف قطر لمدار الفوتون حول الثقب الأسود. لم يعد الفوتون الموجود في هذا المدار قادرًا على مغادرة محيط الثقب ولكنه لم يسقط فيه بعد.

يمكن أن يكون هناك ثلاثة خيارات لمثل هذا الترتيب المكاني المتبادل. الأول هو أن المادة المظلمة تتوزع بطريقة تجعل كرة الفوتون تقع بين طبقة المادة المظلمة وأفق الحدث. في هذه الحالة ، لن يتغير حجم ظل الثقب الأسود للمراقب ، ولن نتمكن من اكتشاف وجود المادة المظلمة من خلال شكل الظل. الثانية - عندما تكون هالة المادة المظلمة أقرب إلى أفق الحدث من كرة الفوتون - مستحيلة ، لأن كل المادة في هذه المنطقة سوف يمتصها الثقب الأسود حتمًا.

الخيار الثالث هو الأكثر إثارة للاهتمام: إن كرة الفوتون مغمورة في هالة من المادة المظلمة. في هذه الحالة ، سيعتمد نصف قطر الظل على كثافة طبقة المادة المظلمة وكتلتها: فكلما قلت الكثافة وزادت الكتلة ، زاد نصف قطر الظل. ومع ذلك ، أظهرت الحسابات التي أجراها عالم الكون في RUDN أنه من أجل أن يكون التغيير في نصف قطر ظل الثقب الأسود ملحوظًا لمراقب خارجي ، يلزم وجود تركيز عالٍ بشكل غير طبيعي للمادة المظلمة حول الثقب الأسود المركزي. خلص رومان كونوبليا إلى أن تأثير المادة المظلمة على نصف قطر الظل من المحتمل أن يكون غير محسوس.

"من أجل تشويه هندسة الثقب الأسود كثيرًا بحيث يمكن ملاحظته من خلال ملاحظات الظل ، يجب أن تتركز المادة المظلمة بالقرب من الثقب الأسود. في مجرتنا ، وفقًا لبعض التقديرات ، هناك حوالي 100 مليار من الطاقة الشمسية كتل من المادة المظلمة. ومع ذلك ، فمن المفترض أن يتم توزيع المادة المظلمة في جميع أنحاء هالة المجرة وليس فقط في مركزها. للتأثير على ظل الثقب الأسود ، يجب أن تتركز كل هذه الكتلة الضخمة في المنطقة الوسطى ، والتي تحتل تقريبًا واحد من المليون من الحجم الإجمالي "، أوضح رومان كونوبليا.

النتيجة السلبية ، والتي تعني أن علماء الفلك الحديثين لن يكونوا قادرين على استخدام الثقوب السوداء كـ "كاشف" للمادة المظلمة ، مهمة للغاية لعلماء الفيزياء الفلكية المشاركين في بحثها. المادة المظلمة هي شكل افتراضي للمادة ، والتي تشكل حوالي 85٪ من مادة الكون وحوالي 25٪ من كثافتها ، حسب التقديرات الحديثة. لا تصدر المادة المظلمة إشعاعات كهرومغناطيسية ، على عكس المادة الباريونية العادية ، ولا تتفاعل معها بشكل مباشر. لذلك ، على الرغم من كل الجهود ، لا يزال علماء الفلك غير قادرين على الحصول على دليل مباشر على وجوده.

ولكن إذا تبين أن التركيز العالي غير الطبيعي للمادة المظلمة حول الثقب الأسود ممكن لسبب ما ، فسيحتاج علماء الفلك إلى التفكير في النماذج التي تأخذ في الاعتبار أيضًا تأثيرات دوران الثقب الأسود والمادة المظلمة المحيطة به.


مقدمة

حصل تعاون Event Horizon Telescope (EHT) مؤخرًا على صورة عالية الدقة الزاويّة لتدفق التراكم حول الثقب الأسود الهائل في M87 * [1،2،3،4،5،6]. تُظهر الصورة أن هناك داخلًا مظلمًا يحيط به حلقة ساطعة. يسمى الداخل المظلم ظل الثقب الأسود بينما تسمى الحلقة الساطعة حلقة الفوتون. ينتج ظل الثقب الأسود عن انحراف الضوء الثقالي [7،8،9،10،11]. على وجه التحديد ، عندما يمر الضوء المنبعث من التراكم عبر محيط الثقب الأسود باتجاه الراصد ، فإن مساره سينحرف. تختلف شدة الضوء الذي يلاحظه المراقب البعيد وفقًا لذلك ، مما يؤدي إلى وجود حلقة داخلية مظلمة وحلقة ساطعة. حتى الآن ، تم التحقيق في ظلال الثقوب السوداء المختلفة. من المعروف عمومًا أن ظلال الثقوب السوداء المتناظرة كرويًا مستديرة وأن ظلال الثقوب السوداء الدوارة ليست مستديرة تمامًا ولكنها مشوهة.

منذ إصدار الصورة والبيانات بواسطة EHT ، تم استكشاف آثارها المختلفة. على سبيل المثال ، يمكن تحديد الأبعاد الإضافية من ظل M87 * [12 ، 13] ، حيث تم النظر في وجود ثقب أسود دوار في braneworld. قد تكون ظلال الثقوب السوداء فائقة الكتلة ذات الانزياح الأحمر العالي بمثابة المساطر المعيارية [14] ، حيث يمكن تقييد المعلمات الكونية. يمكن أيضًا تقييد رفيق الثقب الأسود لـ M87 * من خلال الصورة الصادرة عن EHT [15]. علاوة على ذلك ، يمكن استخدام المعلومات التي قدمتها EHT لفرض قيود على فيزياء الجسيمات عبر آلية الإشعاع الفائق [16 ، 17]. على وجه الخصوص ، بالنسبة للبوزون المتجه ، قد يقيد بعض مساحة معلمة المادة المظلمة الضبابية. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن أيضًا تحفيز سحابة أكسيون الكثيفة عن طريق دوران الثقوب السوداء بسرعة من خلال الإشعاع الفائق [18].

يبدو أن مادة التراكم مهمة لظلال الثقوب السوداء ، حيث يُعتقد أن العديد من الثقوب السوداء الفيزيائية الفلكية محاطة بمواد تراكمية. تم تقديم الصورة الأولى لثقب أسود محاط بتراكم قرص رفيع في [19]. بالنسبة لقرص التراكم السميك هندسيًا وبصريًا [20] ، وجد أن كتلة القرص ستؤثر على ظل الثقب الأسود ، ومع نمو الكتلة يصبح الظل أكثر انتشارًا. على وجه الخصوص ، من خلال إعادة تحليل مسار شعاع الضوء ، تم توضيح وتفصيل ظلال ثقب أسود من نوع Schwarzschild مع أقراص التراكم الرفيعة والسميكة على حد سواء مؤخرًا [21]. لقد وجد أنه لا توجد فقط حلقة الفوتون الحاشية 1 ولكن أيضًا حلقة العدسة. تساهم حلقة العدسة بشكل كبير في التدفق المرصود بينما تساهم حلقة الفوتون قليلاً. بالإضافة إلى ذلك ، تم تحديد الحجم المرصود للمنطقة المظلمة المركزية ليس فقط من خلال الانزياح الأحمر الثقالي ولكن أيضًا من خلال ملف تعريف الانبعاث. عندما تكون مادة التراكم متناظرة كرويًا ، يكون هناك أيضًا ظل للثقب الأسود [23]. تم العثور على موقع حافة الظل ليكون مستقلاً عن نصف القطر الداخلي الذي يتوقف عنده الغاز المتراكم عن الإشعاع [22]. يمكن أن يكون حجم الظل المرصود بمثابة توقيع لهندسة الزمكان ، حيث لا يتأثر بتفاصيل التراكم. تختلف هذه النتيجة عن الحالة التي يكون فيها التراكم عبارة عن قرص [21].

في هذه الورقة ، نعتزم التحقيق في ظل ثقب أسود غاوس بونيه رباعي الأبعاد مع تراكمات كروية [24]. مصطلح Gauss – Bonnet في لاغرانج ثابت طوبولوجي في الزمكان رباعي الأبعاد. وبالتالي من أجل النظر في التأثير الديناميكي لجاذبية Gauss-Bonnet ، مطلوب بشكل عام للعمل في أبعاد أعلى [25 ، 26]. في الآونة الأخيرة ، اقترح Glavan و Lin تعديل Gauss – Bonnet للجاذبية بأربعة أبعاد ببساطة عن طريق إعادة قياس ثابت اقتران Gauss – Bonnet ( alpha rightarrow alpha / (D-4) ) واتخاذ الحد (D ) rightarrow 4 ) [24]. ومع ذلك ، كما أشار العديد من المؤلفين ، لم يتم تعريف هذه النظرية بشكل جيد مع مخطط التنظيم الأولي [27،28،29،30]. في الآونة الأخيرة ، اقترح المؤلفون في [31] نظرية متسقة للجاذبية رباعية الأبعاد Gauss-Bonnet باستخدام تحلل ADM للزمكان. نجحوا في العثور على نظرية Gauss-Bonnet رباعية الأبعاد لدرجتين ديناميكيتين من الحرية عن طريق كسر ثبات التباين الزمني. وبالتالي ، يمكن اعتبار الحلول الكونية وحلول الثقب الأسود المعطاة بسذاجة في [24] كحلول دقيقة في نظرية [31]. إن خلفيتنا عن حل الثقب الأسود تتوافق أيضًا مع النظرية المحددة جيدًا لـ [31]. تم التحقق من العديد من الخصائص الأخرى للثقب الأسود Gauss-Bonnet رباعي الأبعاد انظر على سبيل المثال [32،33،34،35،36،37،38،39،40،41،42،43،44،45،46، 47].

على وجه الخصوص ، تمت دراسة عدسات الجاذبية بواسطة الثقوب السوداء في البلازما العادية والمتجانسة في جاذبية غاوس بونيه رباعية الأبعاد في [48 ، 49]. تمت دراسة الظلال الناتجة عن الثقب الأسود غاوس-بونيه رباعي الأبعاد [32 ، 50] المتناظر كرويًا [51]. سيكون من المثير للاهتمام دراسة شدة الضوء المقابلة للظل ، والتي تشتمل على المشكلة الرئيسية في هذه الورقة. لنكون أكثر دقة ، في هذه الورقة ، نحن مهتمون بالتراكمات الكروية ، والتي يمكن تصنيفها إلى ثابتة ومضللة. من ناحية ، نريد استكشاف كيف يؤثر ثابت Gauss-Bonnet على نصف قطر الظل والفوتون وكذلك شدة الضوء التي يلاحظها مراقب بعيد. من ناحية أخرى ، نريد استكشاف كيفية تأثير ديناميكيات التراكم على ظل الثقب الأسود. نتيجة لذلك ، وجدنا أنه كلما كان ثابت Gauss – Bonnet أكبر ، كلما كان نصف قطر الظل والفوتون أصغر ، وكلما كانت الكثافة أكبر. بالإضافة إلى ذلك ، تم العثور على ظل التراكم المتضخم أغمق من ظل الحالة الساكنة بسبب تأثير دوبلر.

ويتم تنظيم ما تبقى من هذه الورقة على النحو التالي. في الطائفة. في الشكل 2 ، نفحص حركة شعاع الضوء بالقرب من الثقب الأسود Gauss-Bonnet رباعي الأبعاد ونكتشف كيف ينحرف. في الطائفة. 3 ، نقوم بفحص الظلال ومجالات الفوتون باستخدام التراكم الكروي الثابت. لاستكشاف ما إذا كانت ديناميكيات التراكم ستؤثر على الظل والفوتون الكروي ، من المفترض أن يكون التراكم في الطائفة. 4. القسم 5 مخصص للاستنتاجات والمناقشات. خلال هذه الورقة ، قمنا بتعيين (G = hbar = c = k_B = 1 ).


البراهين دون تناظر كروي

كخطوة أولى للنظر في الحالة العامة ، نفترض أن الأفق الأبعد متصل، وافترض دائمًا أن ضعيف وقوي ظروف الطاقة. نحن نفترض أيضًا أن أقصى كرة فوتونية موجودة ناعم في البداية. أخيرًا ، سنقدم حجة لإظهار أنه يمكن الاسترخاء في نعومة أقصى كرة الفوتون نعومة متعددة الطبقات. سنحول المتباينات إلى مشاكل إيجاد الحد الأقصى / الأدنى ، والتي يمكن حلها بطريقة التغيّر. بشكل عام ، للتحقق مما إذا كانت المشكلة المتغيرة ستعطينا الحد الأدنى أو الحد الأقصى ، قد نحتاج إلى حساب الاختلاف من الدرجة الثانية. هذا بشكل عام سيكون معقدًا. ومع ذلك ، إذا كانت القيمة الموجودة على غلاف المشكلة المتغيرة لها تعبير واضح ، فلدينا طريقة أبسط.

افترض أن الدالة هي (< mathcal >: < mathcal > mapsto < mathbb > ) ، حيث (< mathcal > ) هي المساحة الممتدة بواسطة جميع وسيطات (< mathcal > ). رياضيا ، إذا (< mathcal > ) يفي ببعض القيود العامة جدًا في الحاشية 1 ويحد من أعلى / أسفل ، ثم (< mathcal > ) يجب أن يكون له حد أقصى / أدنى [32] والحد الأقصى / الأدنى لـ (< mathcal > ) يجب أن تُعطى بالقيمة القصوى / الدنيا على الغلاف لمشكلة التغيير المقابلة. وبالتالي ، لإيجاد الحد الأقصى / الحد الأدنى لـ (< mathcal > ) ، نحتاج فقط إلى العثور على جميع القيم الموجودة على الغلاف واختيار الحد الأقصى / الأدنى. في حالة وجود تعبير صريح للقيمة الموجودة على الغلاف لمشكلة التباين ، فمن السهل القيام بذلك.

شكلية بوندي سكاس

سوف نستخدم شكلية Bondi-Scahs [26 ، 27] في هذا القسم ، والذي يقدم لنا طريقة بسيطة لدراسة سلوكيات القياس في حالة غير كروية. تقوم شكلية Bondi-Scahs بتقطيع الزمكان من خلال سلسلة من الأسطح الفارغة التي تم تصنيفها بواسطة (u = ) الثابت والمقاييس العامة لها الشكل التالي

نظرًا لأن الزمكان مسطحًا بشكل مقارب ، فإننا نصلح شروط الحدود على النحو التالي

حيث ( text Omega ^ 2 ) هو مقياس وحدة المجال. كرات الفوتون هي هياكل هندسية لثقب أسود ثابت ، لذا فهي مستقلة عن خيارات الإحداثيات. لإعطاء القراء صورًا مرئية واضحة ، استخدمنا التحليل الثابت 3 + 1. لدراسة عدم المساواة المقترحة في هذه الورقة ، فإن مقياس إحداثيات بوندي - سكاس هو أكثر ملاءمة.

في مقياس Bondi-Scahs ، لدينا ثلاث حريات قياس. أولاً ، لدينا الحرية في اختيار مكان وجود السطح الفائق الفارغ (u = 0 ). أحد الخيارات الملائمة هو أننا نستخدم أشعة الضوء الصادرة لفوتون كروي (< mathcal > ) لتعريف السطح الخالي (u = 0 ). انظر الشكل 3.

يسار: تشكل الأشعة الفارغة الصادرة من كرة الفوتون السطح الفارغ (u = 0 ). كرة فوتونية (< mathcal > ) يقع على قدم المساواة-ر سطح يشبه الفضاء وكذلك يقع في ورقة فارغة. على الورقة الفارغة ، يتم تعريف كرة الفوتون بواسطة (r = r _ < mathcal > (س ^ أ) ). على اليمين: ترقيم باطل للزمكان. يتم الحصول على الأوراق الفارغة الأخرى باستخدام الترجمة الناتجة عن ناقل القتل الثابت ( xi ^ mu ). ال ش- التنسيق مجاني ويمكننا اختيار منحنى زمني تعسفي يمر عبر هذه الأوراق الفارغة

كرة الفوتون (< mathcal > ) ثم يحدد موقع على قدم المساواة-ر السطح وكذلك يقع في (u = 0 ) ورقة فارغة. وهكذا ، (< mathcal > ) يتم تعريفه أيضًا بواسطة (u = 0 ) و (r = r _ < mathcal > (س ^ أ) ). بعد أن نحصل على أول ورقة فارغة (u = 0 ) ، يمكن الحصول على جميع الأوراق الفارغة الأخرى باستخدام الترجمة الناتجة عن ناقل القتل الثابت ( xi ^ mu ). يتم تصنيف كل ورقة فارغة بواسطة ثابت ش. في الواقع ، إلى جانب كرة الفوتون ، لأي سطح مغلق س على قدم المساواةر عديدات الطيات الجزئية والأفق الخارجي ، يمكننا دائمًا غمر سطح واحد مغلق س في أشعة الضوء الصادرة. باستخدام هذه الورقة الفارغة الأولية والترجمة التي تم إنشاؤها بواسطة ( xi ^ mu ) ، يمكننا دائمًا الحصول على ترقيم أوراق محلي فارغ و س يضع على ورقة فارغة واحدة.

ثانيًا ، لدينا حرية الاختيار ش- التنسيق. المماس المتجه لـ ش- التنسيق هو (( جزئي / جزئي u) ^ mu ). في مقياس Bondi – Scahs ، العامل العادي للأوراق الفارغة ( propto ( text u) ^ mu ) لكن المتجه العادي هو ليس متناسب مع (( جزئي / جزئي u) ^ mu ). في الواقع ، المتجه الطبيعي للمساواة-ش يرضي السطح

التي تقع على قدم المساواة-ش أوراق فارغة. هذا يحدد الإحداثي ص ونجد

الذي يتطابق مع المقياس (4.1). ال ش-التنسيق هو منحنى تعسفي يشبه التوقيت ويمر عبر تلك الأوراق الفارغة ، على سبيل المثال انظر الشكل 3. يمكننا اختيار (( جزئي / جزئي u) ^ mu = xi ^ mu ) ، أي حقل متجه Killing الثابت. إذن لدينا

يأتي مقياس الحرية الثالث من حقيقة أن العلاقة (4.3) لا تحدد اختيار التنسيق ص بشكل فريد. يمكننا اختيار (< tilde> ) ليحل محل ص، حيث (< tilde> ) يرضي (( جزئي / جزئي r) ^ mu = psi ( جزئي / جزئي r) ^ mu ) مع حقل عددي عشوائي غير صفري ( psi ). للقضاء على هذه الحرية ، يمكننا فرض شرط قياس ( جزئي _rh = 0 ). من خلال اختيار المقياس هذا ، نرى

و ( نص Omega ) هو عنصر سطحي للكرة الموحدة. المقياس التفاضلي ( جزئي _rh = 0 ) يترك الحرية في اختيار الشرط الأولي لـ ص. لإصلاح هذه الحرية ، يمكننا ضبط نصف قطر الأفق (r_h ) ليكون ثابتًا ، مما يؤدي إلى صيغة بسيطة لمنطقة الأفق

بدلاً من ذلك ، يمكننا اختيار كرة فوتونية (< mathcal > ) أن تكون ثابتة (r = r _ < mathrm > ) ، ثم مساحة (< mathcal > _ < mathrm > ) له تعبير بسيط ،

بشكل عام ، نحن لا تستطيع تتطلب أن يكون لكل من الأفق والفوتون المجال الثابت ص.

الاحداثيات () على الأوراق الفارغة. نحن نعتبر الحالة الثابتة ، لذلك يمكننا اختيار الاتجاه العرضي (x ^ A ) ليكون متعامدًا مع ( xi ^ mu ) ، مما يعني (U ^ A = 0 ). ثم يصبح المقياس

في الملحق أ ، نقدم حجة أكثر تفصيلاً حول المعادلة. (4.8). بالمعنى الدقيق للكلمة ، في بعض الأوقات الفضائية ، قد تغطي هذه الإحداثيات منطقة محدودة فقط. هنا نفترض أنه يمكن أن يغطي المنطقة بأكملها خارج الأفق (< mathcal >) .

في مقياس الإحداثيات أعلاه ، تظهر معادلة أينشتاين [27]

هنا (<^ <(2)> R> ) و (< mathfrak > _A ) هي الانحناء القياسي والمشغل المشتق المتغير لـ (h_). (T_: = T _ < mu nu> ( جزئي / جزئي r) ^ mu ( جزئي / جزئي r) ^ nu ) هو المكون الفارغ لموتّر زخم الطاقة (T _ < mu nu> ) ، ( rho: = T _ < mu nu> xi ^ mu xi ^ nu / ( xi ^ mu xi _ mu) ). ثم تؤمن حالة الطاقة الضعيفة

فيما يلي سنحدد بعض الوظائف المستهدفة على بعض الأسطح س، والتي ستعتمد على هندسة الزمكان واختيارات س. نحن نفترض دائمًا معادلة أينشتاين ، لذلك يتم تحديد هندسة الزمكان من خلال توزيع الأمور. نتيجة لذلك ، ستعتمد الوظائف على توزيع الأمور وخيارات س. من الضروري معرفة عدد درجات الحريات التي تتمتع بها الوظائف المستهدفة. يحتوي موتر زخم الطاقة على 10 مكونات ، 4 منها مقيدة بهوية Bianch (أو القانون المحفوظ ( nabla ^ mu T _ < mu nu> = 0 )). يوفر المتطلب (U ^ A = 0 ) أيضًا قيدين وفقًا لمعادلة أينشتاين. وبالتالي ، لدينا 4 درجات من الحريات. تتحد عشرة مكونات من موتر زخم الطاقة مع اختيار السطح س يقدم لنا 11 درجة من الحريات على السطح س. (U ^ A | _S = 0 ) و (ح | _S = ح | _) تقدم لنا 3 قيود على السطح س. وهكذا ، لدينا 8 درجات من الحريات على السطح س. Theqrefor ، يمكننا اختيار 4 متغيرات مجمعة على الأكثر و 8 متغيرات سطحية على الأكثر كمتغيرات مستقلة عندما نستخدم طريقة متغيرة. سوف يبسط مشكلة المتغيرات إذا اخترنا المتغيرات المستقلة بشكل مناسب.

إثبات (9A _ >> / 4 لو A _ >/3)

في هذا القسم الفرعي ، سوف نستخدم طريقة التنويع لإثبات: في جميع الثقوب السوداء التي تكون مناطق الأفق البعيدة منها (A _ << mathcal >> ) ، إذا كان الفوتون موجودًا ، فإن القيمة الدنيا لـ (A _ < mathrm > ) هو (27A _ << mathcal >> / 4 ). للقيام بذلك ، نقدم وظيفة مساعدة

هنا س هو سطح عشوائي يحيط بأقصى أفق (< mathcal > ) ويضع على قدم المساواة-ر السطح ، (A_) هي مساحة س. تظهر عدم المساواة بين كوشي وشوارتز ذلك

ثم لأبعد كرة فوتونية (< mathcal > _ < mathrm > ) لدينا

في الملحق ب ، نوضح أنه إذا أصلحنا منطقة الأفق وتم استيفاء حالة الطاقة القوية ، عندئذٍ (< mathcal > ) يحدها من الأعلى. وبالتالي ، وظيفية (< mathcal > ) بحد أقصى. لإيجاد الحد الأقصى ، علينا إيجاد جميع القيم المتطرفة واختيار الحد الأقصى. لكل سطح س وضع على قدم المساواة-ر عديدات الطيات الفرعية ، يمكننا غمرها في الورقة الفارغة (u = 0 ) وتحديد معلماتها بواسطة () في مقياس إحداثيات Bondi – Scahs. في الملحق ج ، أظهرنا ما يلي: إذا كان السطح س يجعل (< mathcal > ) المتطرفة بين جميع الأسطح التي توضع على قدم المساواة-ر السطح ، سيجعل أيضًا (< mathcal > ) متطرف بين جميع الأسطح التي تقع على (u = 0 ) ورقة فارغة. ثم لدينا العلاقة التالية

> Sigma _t) nonumber & amp quad = ( mathrm <>

افترض أن (< mathcal >_) هي القيمة الحرجة القصوى لـ (< mathcal > ) على الورقة الفارغة (u = 0 ) ، الحاشية السفلية 2 ، ثم نرى أن الحد الأقصى (

< رياضيات > ) في المعادلة. (4.15) يرضي ( max < mathcal > le < mathcal >_). في الورقة الفارغة (u = 0 ) ، إذا كان بإمكاننا إظهار (< mathcal >_= 4 / (27A _ << mathcal >>) ) ثم (A _ < mathrm > ge 27A _ << mathcal >> / 4 ) نتيجة طبيعية. هذا ما سنفعله في هذا القسم الفرعي.

في الورقة الفارغة (= 0 ) ، قيمة (< mathcal > ) يعتمد على الوظيفة (r_S (x ^ A) ) بالإضافة إلى التوزيعات المترية والمادة. في ما يلي سوف نستخدم طريقة التباين لإيجاد الحد الأقصى من (< mathcal > ) على الورقة الفارغة (u = 0 ). كما حللنا في نهاية ثانية. 4.1 ، يمكننا اختيار 4 متغيرات مجمعة على الأكثر و 8 متغيرات سطحية على الأكثر كمتغيرات مستقلة عندما نستخدم طريقة متغيرة. لن نحدد أولاً ما هي المتغيرات المستقلة ولكننا نستخدم فقط معادلة أينشتاين لإعادة كتابة (< mathcal > ) في شكل مختلف (انظر المعادلة (4.26)) ثم حدد ما هي المتغيرات المستقلة ، والتي من خلالها يمكننا بسهولة إجراء التباين والعثور على القيم الموجودة على الغلاف.

في الملحق د ، نستخدم وظيفة ملموسة كمثال لشرح الفكرة الرئيسية للخطوات التالية. على الرغم من أن ما سنفعله في المتابعة أكثر تعقيدًا من مثال الملحق د ، إلا أن الجوهر الرياضي ليس له فرق. بالإشارة إلى المقياس (4.8) ، تقرأ وظيفتنا المستهدفة

نأخذ مقياسًا أن الأفق له نصف قطر ثابت (r = r_h ). ثم نجد

بشكل عام ، سيعتمد (Ve ^ <2 beta> ) على (r_0 ) و (x ^ A ) كليهما. المقياس المستحث في س يقرأ ( نص s_S ^ 2 = r_S ^ 2h_نص س ^ أ نص x ^ B ) ، لذلك نجد ( text S = r_S ^ 2 نص أوميغا). مكافئ. (4.18) ومكافئ. (4.17) ثم إظهار

التي تأخذ القيود ( beta le 0 ، rho ge 0 ) و (V ge 0 ) في الاعتبار. ثم نجد

يجب ملاحظة أن (r_S (x ^ A) ) بشكل عام قد لا يكون ثابتًا. لتخفيف تبعية الحد الأعلى (r_S ) في التكامل الثاني للمكافئ. (4.23) ، يمكننا تقديم وظيفة الخطوة ( Theta (x) ) بحيث

كما (ح_) هو مقياس مساحة ثنائية الأبعاد ، يمكننا دائمًا العثور على تحويل إحداثي (x ^ A rightarrow y ^ A ) بحيث

حيث ( جاما _) هو المقياس القياسي لوحدة المجال. باستخدام هذا المقياس المطابق ، نجد أن (< mathcal > ) يصبح

هنا (< قبعة < mathfrak >> _ A ) هو العامل المشتق المتغير المقابل لـ ( جاما _) .

من Eqs. من (4.13) إلى (4.26) ، قمنا للتو بعمل تشوهات متطابقة وفقًا لمعادلة أينشتاين. في Eq. (4.26) ، نجد أن ( < beta ، r_S ، Phi _S ، N_1 ، ، Psi > ) يحتوي على 4 متغيرات مجمعة مستقلة ومتغيرين فقط مستقلين للسطح ، لذلك يمكننا التعامل معها جميعًا كمتغيرات مستقلة. هذه وسيطات مستقلة للوظيفة (< mathcal >) .

نحل مشكلة التباين باتباع الخطوات. يتم حساب التباين مع ( Psi ) بسهولة من المعادلة. (4.23) ونحصل عليها

باستخدام المعادل. (4.18) وتعريفات (N_1 ) و () ، نجد أن المعادلة. (4.27) يقلل

توضح هذه المعادلة أن ( Phi _S = 0 ). الاختلافات مع كل () و (N_1 ) قراءة

و حينئذ (= N_1 = 0 ) عندما (r_h & ltr & ltr_S ). ثم باستخدام Eq. (4.26) ، نجد أن الاختلاف مع ( Psi ) يعطينا

توضح هذه المعادلة أن ( Theta (r_S-r) r_S ) يجب أن تكون مستقلة عن (y ^ A ). هذا بسبب

ثم نرى (< hat < mathfrak >> ^ 2 [ Theta (r_S-r) r_S] = 0 Rightarrow جزئي _A [ Theta (r_S-r) r_S] = 0 ). وهكذا مكافئ. (4.30) يُظهر (r_S ) أن يكون ثابتًا. ثم يظهر الاختلاف مع ( بيتا )

مما يدل على أن ( beta = beta (r) ). وهكذا ، فإن الاختلاف مع كل منها يظهر (r_S )

تظهر المعادلة (4.33) (r_S = 3r_h / 2 ). أخيرًا ، القيمة الموجودة على الغلاف لـ (< mathcal > ) على الورقة الفارغة (u = 0 )

لا يمكن تحديد قيمة ( Psi ) بالطريقة المتغيرة ، لذا فإن حلول مشكلة التباين ليست فريدة. ومع ذلك ، فإن القيم الموجودة على الغلاف لجميع الحلول هي نفسها. كما مكافئ. (4.35) هي القيمة الوحيدة الموجودة على الغلاف لمشكلة التباين ، يمكننا أن نستنتج أن (4 / (27A _ << mathcal) >>) ) هي القيمة القصوى القصوى لـ (< mathcal > ) على الورقة الفارغة (u = 0 ). هذا يثبت (9A _ << mathcal >> / 4 لو A _ < mathrm >/3) .

إثبات (A _ > le A _ >/3)

في هذا القسم الفرعي ، لا نصلح منطقة الأفق ولكن نصلح الوظيفة (< mathcal >|_> _ < mathrm >> = < mathcal > _0 ). في الملحق ب ، أظهرنا (A_S & lt1 / < mathcal > ) لأي سطح خارج الأفق ويتم وضعه على قدم المساواة-ر عديدات الطيات الجزئية. إذا أصلحنا (< mathcal >|_> _ < mathrm >> = < mathcal > _0 ) ، يتم تحديد مناطق كرات الفوتون من الأعلى ، لذلك يمكننا استخدام طريقة التباين للعثور على الحد الأقصى لـ (A _ < mathrm > ). سوف نثبت

إذا كان هذا صحيحًا ، فلدينا

لإثبات المعادلة. (4.36) ، فإن أداتنا هي طريقة متغيرة تتحد مع مضاعفات لاغرانج. الهدف الوظيفي الآن هو

وفقًا للاستنتاج الوارد في الملحق C ، يمكن تحويل ذلك إلى مهمة إيجاد سطح حرج بين الأسطح الموضوعة على ورقة فارغة (u = 0 ). على غرار (4.16) ، لدينا العلاقة التالية

كما نريد إيجاد الحد الأعلى لـ (A_S ) عندما س هو كرة فوتونية ، هناك عدد قليل من القيود على السطح س.

أولاً ، على قدم المساواة-ر surface, we have know that a photon sphere is a critical surface which makes the integration (int phi ^<-2> ext S) to be extremal. In the null sheet (u=0) , Appendix C shows that a photon sphere should also be a critical surface which makes the integration (int phi ^<-2> ext S) to be extremal on the null sheet (u=0) . On the null sheet (u=0) , we have (int phi ^<-2> ext S=int r_S^3e^<-4eta >/(Ve^<-2eta >) ext Omega ) . The extreme condition means that س on the null sheet (u=0) should satisfy following equation

As we now fix the value of functional (>=>_0) , we have following constraint

Thus, we construct following target functional on the null sheet (u=0) with two Lagrangian multipliers

Here () are two Lagrangian multipliers and (lambda _2) is constant. The critical values of (A_>) in equal-ر surface are given by the critical values of F in the null sheet (u=0) .

To solve the variational problem, we separate functional F into two parts

The (partial _r(Ve^<-2eta >)) and (partial _reta ) in (F_>) are given by Eq. (4.9). The (Ve^<-2eta >) in (F_>) is given by Eq. (4.18). Using Eqs. (4.9), (4.10) and (4.18) we find

Here (eta _S=eta |_S) , (N_<1S>^2) and (N_<2S>^2) are defined by Eq. (4.22) but restricted on surface س. We use the lower index “س” to explicitly show that they are surface quantities. Then using the conformal transformation (4.25), we have

Functional (F_>) only involves quantities at the surface س, but functional (F_>) involves quantities at surface س as well as in bulk region between س and (> ). The functional F now depends on 6 surface variables (,N_<2S>,eta _S, Psi _S, W_S, r_S>) and 4 bulk variables (). We can treat all these variables as independent variables.

The (Psi _S, W_S) , (N_<1S>) and (N_<2S>) appear only in boundary part (F_> ). Using Eq. (4.46), we find that the variations with respective to (W_S, N_<1S>) and (N_<2S>) show

Then variation of (Psi _S) reads

This shows that (lambda _1(y^A)) is a constant. The variation with respective to (eta _S) involves both (F_>) and (F_> ). The result reads,

As (lambda _1) is constant, we integrate Eq. (4.49) on س and find

As (V>0) , we find (lambda _2=0) , which implies (>>^2eta _S=0) Footnote 3 and so (eta _S) is constant.

The variables () appear only in bulk part (F_> ). The variation with respective to (N_1) and (N_2) shows (N_1=N_2=0) . Now we have

Then we variation with respective to (Psi ) shows (>>^2[Theta (r_S-r)r_S^<-1>]=0) and so (r_S) is constant. The variation of (eta ) shows (>>^2eta =0) and so (eta =eta (r)) when (r<r_h<r_S) . Thus, we have following results at the surface س

Note that (Psi _S=0Rightarrow <^<(2)>R>|_S=2) . Take these into Eqs. (4.38) and (4.40) we have

Thus, we find that (F|_>=e^<4eta _S>/(3>_0)) . The on-shell values of target functional are not unique. ثم لدينا

This proves Eq. (4.36) and so we obtain (A_>le A_>/3) . It needs to note that above proof is still true for every connected photon spheres, i.e. (A_,i>le A_,i>/3) . Thus, we prove one part of our stronger conjecture (3.11).

Proof of (A_>/3le 36pi M^2)

The solution of Eq. (4.10) can be written as

In the gauge that horizon has constant (r=r_h) , we find

This shows the Penrose inequality (9A_<>>/4le 36pi M^2) .

To show (A_>/3le 36pi M^2) , we immerse the photon sphere into the null sheet (u=0) and take the gauge that the radius of outmost photon sphere (r_<>>) is constant. The size of shadow reads

In general, the horizon radius (r_h) is no longer constant. Eq. (4.56) becomes

In following we will use variational method to show that, in all black holes of which the size of shadow is (A_>=12pi a_0^2) , the minimal value of mass is (a_0/3) . The main idea is as follow.

We treat م as a functional, the positive mass theorem shows (Mge 0) . Thus, the functional م is bounded from below. Then the minimum value can be found according to variational problem. As (>_>) is a photon sphere, so constraint (4.38) should also satisfied. We construct the target functional

Here (lambda _1(x^A)) and (lambda _2) are two Lagrangian multipliers and (lambda _2) is constant. The (lambda _2) insures that the size of shadow is fixed to be (12pi a_0^2) and the (lambda _1) insures that condition (4.38) is satisfied.

We use the variable transformations (4.22) and find

The functional (>) contains the boundary part and bulk part. In principle, we can follow the similar step of Sect. 4.3 to solve the variational problem. However, in this case, we have simpler method.

We first choose (eta , N_1, N_2) and (K:=sqrt>) as four independent bulk variables. The bulk variations with respective to (eta , N_1) and (N_2) only involves the third line of Eq. (4.604.61). The result shows

N_1=N_2=0 Rightarrow partial _rh_=0,. نهاية$

Thus, the on-shell geometry outside photon sphere (>_>) becomes spherically symmetric. We then find that

In spherically symmetric case, we have shown that (min M=sqrt>/(108pi )>=a_0/3) . Thus Eq. (4.62) shows (min M=a_0/3) . Then we finish the proof of (A_>/3le 36pi M^2) in the case without spherical symmetry. Note that above proof also implies that (A_>/3=36pi M^2) is true only if the geometry outside (>_>) is Schwarzschild.

Now we make a short summary on this section. We use variational method to prove (9A_<>>/4le A_>/3) and (A_>le A_>/3le 36pi M^2) under two assumptions: (1) weak and strong energy condition are satisfied, and (2) outmost horizon and outmost photon sphere are connected and smooth. Our proof also implies a rigidity theorem: (A_>=36pi M^2) only if the geometry outside outmost photon sphere is Schwarzschild. Our proof on (A_>le A_>/3) is also true when outmost photon sphere is not connected. As the result, we obtain (A_,i>le A_,i>/3) for every connected branch and so prove a part of our stronger conjecture (3.11). The lower bound (9A_<>>/4le A_>) in spherically symmetric case involves some non-typical energy condition (2.15). It is not clear how to generalize it into the case without spherical symmetry. We leave the study of this inequality for the future.

Comment on smoothness: In above proofs, we assumed that the outmost photon sphere (>_>) is smooth. This requirement can be be replaced by piecewise smoothness. The reason is that, in variational method, the target functionals and constraints are defined in integrations. For a outmost photon sphere (>_>^<(i)>) , we can always find a smooth surface (>_,varepsilon >^<(i)>) which satisfies: (1) (forall varepsilon >0) , the maximal volume enclosed by (>_>^<(i)>) and (>_,varepsilon >^<(i)>) is smaller than (varepsilon M^3) , i.e.

أين الخامس is arbitrary spacelike 3-dimensional surface and satisfies (partial V=>_>^<(i)>cup >_,varepsilon >^<(i)>) , and (2) (A_,i>) and (A_,i>) are approximated in arbitrary accuracy

and (3) the constraint (4.38) is broken arbitrarily small

We can use the smooth surface (>_,varepsilon >^<(i)>) to replace (>_>^<(i)>) and obtain the same conclusion. Because of this reason, the conclusions in our above proofs are still valid if assume the outmost photon sphere is piecewise smooth.


6 Answers 6

I am neglecting the effect of tidal forces on the integrity of any object

Well, don't be doing that! Those forces can be used to answer your question.

Given a couple of bars of known length and mass, and a black hole of known mass, you could measure the relative differences in length of a bar placed parallel to the local gravity vector and one placed perpendicular to it using eg. interferometry. The vertical bar will be stretched by tidal forces the closer you get, and the amount of stretch will be predictable and related to your distance from the hole.

As an alternative that uses boring old orbital mechanics instead of exciting space-mangling super-intense gravity fields, you could measure the period of your orbit by observing background stars, which you can throw into the usual equations to work out the orbital radius. This works when you are far enough away from the hole to avoid frame dragging effects, but as you get closer, more clever mathematics will be required.

Determine the location of the photon sphere using laser beams.

The photon sphere is located farther from the center of a black hole than the event horizon. Within a photon sphere, it is possible to imagine a photon that's emitted from the back of one's head, orbiting the black hole, only then to be intercepted by the person's eyes, allowing one to see the back of the head.

You here use the photon sphere as a proxy for the event horizon. You will swing your (shark-mounted) laser slowly from left to right such that it will trace out a diameter of the circular region of interest. There will be a point where you can detect your photons coming back to (your shark) as they loop around the black hole. That distance from the center is just outside the photon sphere which is just outside the event horizon. As your laser continues to the right its photons will be lost into the black hole. As it emerges on the left your will detect the photons coming around from the right. You have now marked the lateral edges of the photon sphere here used as a proxy for the black hole. Should you suspect the region is other than circular you can draw a few more diameters with your laser.

You do not need to get close to do this. You can do this from some distance, which I recommend at least the first few times.

Datalink frequency shift.

The probe is in communication with a relay station live streaming the event back to NASA and eager nerds like me. The communication is bidirectional, and the probe is constantly acknowledging packets received. (Think TCP protocol but tweaked for space.)

The constant stream back of acknowledgements keeps the communication channel constantly active, allowing the probe to measure the frequency shift of the data link.

Because it knows that the relay is far enough away from the black hole (and traveling slowly enough) that time dilation isn't an issue to N significant digits, it can calculate the exact time dilation from the frequency shift of the known communication frequency.

Eg the 5Ghz radio signal is arriving at 25.453Ghz - so that relay stations clocks are running 5.0906 times faster than mine. That's means my clocks are running at 19.644% of real time. You now know your time dilation factor to as accurately as your communication unit can measure the changing frequency.

Assuming you're not orbiting at relativistic speeds, from this, you can calculate your approximate distance from the black hole.

If you are orbiting at relativistic speeds, ie, you're getting in that close, you can measure the change in time dilation (via frequency shift) at regular intervals (in probe time). I'm not smart enough to be 100% certain this will work without coding a simulation, but my gut instinct is that there will only be one valid orbital ellipse possible for a given sequence of time dilation measurements.

  • time dilation from the gravity of the blackhole and the probes distance to it.
  • time dilation from the speed of the probe.
  • doppler shifting based on the relative velocity of the probe and the relay.

That sequence of changing times should give only one ellipse and your phase on that ellipse. From that, you can do your orbital maneuvers.


Hello PG, !

There's a ton of stuff waiting to be looked at if you google 'picture of a black hole'

I think we had a thread on this one in PF. It's beautiful, but the explanation isn't for the faint-hearted .

Veritasium had a pretty good description of the images from earlier this year and why they look that way.

Thanks both! I have seen the image of that hole and I sorta get why it looks like that.

But lets imagine an ancient bh without a disk and me being an observer outside its radius, would the gravitational lensing cause the stars etc behind it to "appear in front of the hole"(Effectively making it indiscernable)? Or would there be some "artifacts" from the lensing that would make it "visible"?

Iam sorry if I make it confusing, having a hard time posing it properly (english isnt my 1st or 2nd language)

They're not discussing "what is the case" as far as the answer to your question: they both agree on this:

Which means the answer to your original question is "yes". They are only discussing the exact optical size of the black disk.

Indeed - I don't think I'm disagreeing with Orodruin's answer except for the angular size of the black area. And we probably disagree on language rather than physics.

There are a few plots of light rays near black holes near the end of this thread, which may be of interest.

Thank you very much, that is very helpfull indeed.

ps. (very long)
Please understand not eveyone is in a position to discuss these things on a campus, with friend or at work. I work at a chemical plant as a shift supervisor and there are plenty of engineers and chemical engineers to talk about every day physics/chem. I have a family and some friends, none of whom are even remotely interested in these things. I have followed alot of online material from lectures to "mainstream physics" like CBSst.
Point is: There is ALOT of material out there, but unless there are people willing to explain/go into some nuance and have a discussion it is very very difficult to self-educate oneself in these topics. Sometimes all one needs is just a little nudge.
I apologize for my crossness, but you dont know half of how lucky you guys are living/studying these field in an enviroment of likeminded people. I am not that lucky, and hoped to find some here. That all.

And indeed you will. No one, myself included, intended any rudeness towards you. You are probably more accustomed to traditional social media where insults and flames are rampant and it is sometimes reasonable to infer that rudeness is intended. We work pretty hard here to NOT be rude to individuals, but ideas are another thing entirely. This next does not apply to you, I'm just making you aware: when ideas that don't make sense crop up, folks are quick to point out the flaws, but the intent is never to rude to the poster, just to lead them to understanding. Likewise, and this does apply to you, when people seem to have made little or no effort on their own, this is often pointed out. Again, no rudeness is intended.

So, I still mean what I said about doing some research on your own. You certainly do raise the good point that there is just so MUCH stuff out there that it can be difficult. Still the effort should be made.

I, like you, have absolutely no one that I talk to in person about science or math. I took college physics over 50 years ago and only a few years back decided to start studying cosmology and quantum mechanics, at the amateur level. I watched TONS of TV shows and read LOTS of pop-science books and then discovered this place and found out that a large amount of what I "knew" was totally wrong because pop-sci presentation are entertainment, not education. HERE, I actually learned a bit of physics and you will to if you stick around.

tnx both! Well I was just a little frustrated (and acted that out abit too much :) ) to be pointed back to the only place I had, and one that I can never have a discussion with. I am happy too be here

@BvU we make metal alkyls, not many of us around, pretty interesting stuff with some nice challenges safety wise.


Reissner-Nordström Black Holes

Assume the existence of two commuting Killing vectors – timelike ξ α and axial η α (ξ α ξα <0,η α ηα> 0),ξ α normalized at (asymptotically flat) infinity, η α at the rotation axis. They generate two-dimensional orbits of the group جي2. Assume there exist 2-spaces orthogonal to these orbits. This is true in vacuum and also in case of electromagnetic fields or perfect fluids whose 4-current or 4-velocity lies in the surfaces of transitivity of جي2 (e.g., toroidal magnetic fields are excluded). The metric can then be written in Weyl’s coordinates (t,ρ, φ, z)

The most celebrated vacuum solution of the form [12] is the Kerr metric for which يو, ك, أ are ratios of simple polynomials in spheroidal coordinates (simply related to (ρ,z)). The Kerr solution is characterized by mass م and specific angular momentum أ. ل أ 2 > م 2 , it describes an asymptotically flat spacetime with a naked singularity. ل أ 2 ≤ م 2 , it represents a rotating black hole that has two horizons which coalesce into a degenerate horizon for أ 2 = م 2 – an extreme Kerr black hole. The two horizons are located at ص± = م ± (م 2 − أ 2 ) 1/2 (ص being the Boyer–Lindquist coordinate (يرى Stationary Black Holes )). As with the Reissner–Nordström black hole, the singularity inside is timelike and the inner horizon is an (unstable) Cauchy horizon. The analytic extension of the Kerr metric resembles الشكل 2 (see Frolov and Novikov (1998), Hawking and Ellis (1973), Misner وآخرون. (1973), Ortín (2004), Semerák وآخرون. (2002), Stephani وآخرون. (2003), and Wald (1984) for details).

Thanks to the black hole uniqueness theorems (يرى Stationary Black Holes ), the Kerr metric is the unique solution describing all rotating black holes in vacuum. If the cosmic censorship conjecture holds, Kerr black holes represent the end states of gravitational collapse of astronomical objects with supercritical masses. According to prevalent views, they reside in the nuclei of most galaxies. Unlike with a spherical collapse, there are no exact solutions available which would represent the formation of a Kerr black hole. However, starting from metric [12] and identifying, for example, ض = b = const. و ض = −b (with the region −b & lt ض & lt b being cut off), one can construct thin material disks which are physically plausible and can be the sources of the Kerr metric even for أ 2 > م 2 (see Bičák (2000) for details).

In a general case of metric [12] , EEs in vacuum imply the “Ernst equation” for a complex function F من ρ و ض:

or, equivalently, ( R f ) Δ f = ( ∇ f ) 2 , where F = e 2يو + ib, يو enters [12] , and b(ρ, ض) is a “potential” for أ(ρ, ض): أ,ρ = ρe −4يو b,ض, أ,ض = − ρe −4يو b,ρ ك(ρ, ض) in [12] can be determined from يو و b by quadratures. Tomimatsu and Sato (TS) exploited symmetries of [13] to construct metrics generalizing the Kerr metric. Replacing F بواسطة ξ = (1 − F)/(1 + F), one finds that in case of the Kerr metric ξ −1 is a linear function in the prolate spheroidal coordinates, whereas for TS solutions ξ is a quotient of higher-order polynomials. A number of other solutions of eqn [13] were found but they are of lower significance than the Kerr solution (cf. Stephani وآخرون. (2003) , Chapter 20).

These solutions inspired “solution-generating methods” in general relativity. The Ernst equation can be regarded as the integrability condition of a system of linear differential equations. The problem of solving such a system can be reformulated as the Riemann–Hilbert problem in complex function theory (يرى Riemann–Hilbert Problem and Integrable Systems: Overview ). We refer to Stephani وآخرون. (2003) and Belinski and Verdaguer (2001) where these techniques using Bäcklund transformations, inverse-scattering method, etc., are also applied in the nonstationary context of two spacelike Killing vectors (waves, cosmology). In the stationary case, all asymptotically flat, stationary, axisymmetric vacuum solutions can, in principle, be generated. It is known how to generate fields with given values of multipole moments, though the required calculations are staggering. By solving the Riemann–Hilbert problem with appropriate boundary data, Neugebauer and Meinel constructed the exact solution representing a rigidly rotating thin disk of dust (cf. Stephani وآخرون. (2003) and Bičák (2000) ).

A subclass of metrics [12] is formed by static Weyl solutions with أ = b = 0. Equation [13] then becomes the Laplace equation Δيو = 0. The nonlinearity of EEs enters only the equations for k : k , ρ = ρ U , ρ 2 − U , z 2 , k , z = 2 ρ U , ρ U , z . The class contains some explicit solutions of interest: the “linear superposition” of collinear particles with string-like singularities between them which keep the system in static equilibrium solutions representing external fields of counter-rotating disks, for example, those which are “inspired” by galactic Newtonian potentials disks around black holes and some other special solutions ( Stephani وآخرون. 2003, Bonnor 1992, Bičák 2000, Semerák وآخرون. 2002) .

There are solutions of the Einstein–Maxwell equations representing external fields of masses endowed with electric charges, magnetic dipole moments, etc. ( Stephani وآخرون. 2003 ). Best known is the Kerr–Newman metric characterized by parameters م, أ, and charge س. ل م 2 ≥ أ 2 + س 2 it describes a charged, rotating black hole. Owing to the rotation, the charged black hole produces also a magnetic field of a dipole type. All the black hole solutions can be generalized to include a nonvanishing Λ (for various applications, see Semerák وآخرون. 2002 )). Other generalizations incorporate the so-called Newman–Unti–Tamburino (NUT) parameter (corresponding to a “gravomagnetic monopole”) or an “external” magnetic/electric field or a parameter leading to “uniform” acceleration (see Stephani وآخرون. (2003) and Bičák (2000) ). Much interest has recently been paid to black hole (and other) solutions with various types of gauge fields and to multidimensional solutions. References Frolov and Novikov (1998) and Ortín (2004) are two examples of good reviews.


Shadows of rotating black holes

In order to make this article self-sufficient, we will briefly introduce some basics in this section. The detailed information can be found in Refs. [52, 53].

In astrometry, the angle ( epsilon ) between two incident light rays can be expressed by the following formula [57]:

Here, ك و ث are tangent vectors of the two light rays, respectively. ( gamma ^ <*>) is the projection operator, ( gamma _< u >^=delta _< u >^+u^ u_ < u >) , for a given observer, whose 4-velocity is denoted by vector ش.

Sketch of measuring the shadow of a spherically symmetric black hole. أ The observers are located at ( heta =0) , and ث is a null geodesic. The angle (psi ) is the angular radius of shadow. b The observers are located at ( heta =pi /2) . ك, ث، و ل are light rays from photon region. (alpha ) , (eta ) and (gamma ) are angles between ك و ل, ل و ث, ك و ل respectively

Generally speaking, the metric of a rotating black hole can be written as

The 4-velocity of a static observer is ( u=frac<1>>> partial _ ). For the asymptotically de Sitter spacetime, there is a cosmological horizon. The observers are fixed at the domain of outer communication that is the region between the event horizon and the cosmological horizon [38]. Figure 2 is a schematic diagram of observers located at ( heta =0) and ( heta =pi /2) respectively. When the observers located at ( heta =0 ) , they will find that the shadow is a disk and the angular radius is

Here, we have choose a light ray ( l=left( l^<0>,l^<1>,l^<2>,l^<3> ight) ) comes from the photon region which is filled by spherical null geodesics [50]. “ ( ext ) ” represents the sign function. For observers located at ( heta >0 ) , the shadow’s silhouette is not a perfect circle as a consequence of the frame dragging effect. As an example, assume the observer located at ( heta =pi /2 ) . Let ( k=left( k^<0>,k^<1>,0,k^<3> ight) ) represent a light ray from a prograde orbit which moves in the same direction as the black hole’s rotation, and ( w=left( w^<0>,w^<1>,0,w^<3> ight) ) represent a light ray from a retrograde orbit that moving against the black hole’s rotation. As mentioned in Ref. [58], a prograde photon orbits the black hole at a smaller radius than that of a retrograde photon because of the well-known Lense–Thirring effect. One can get the angle of the two light rays, in such a way that

where (mathcal equiv k^<3>/k^<1>,mathcal equiv w^<3>/w^ <1>) , and ( hbox (k, w)=< ext >left( cos gamma ight) =hbox left( g_<11>+left( g_<33>-g_<03>^<2>/g_<00> ight) mathcal mathcal ight) ) .

Similarly, the angle ( alpha ) between a light ray ( l=left( l^<0>,l^<1>,l^<2>,l^<3> ight) ) from the photon region and ك is

and the angle ( eta ) between the light ray ل و ث is

In above equations, ( mathcal _ <2>equiv l^<2>/l^<1>, mathcal _ <3>equiv l^<3>/l^ <1>) , ( hbox (k, l)=< ext >left( cos alpha ight) =hbox left( g_<11>+left( g_<33>-g_<03>^<2>/g_<00> ight) mathcal mathcal _<3> ight) ) , and ( hbox (w, l)=< ext >left( cos eta ight) =hbox left( g_<11>+left( g_<33>-g_<03>^<2>/g_<00> ight) mathcal mathcal _ <3> ight) ) . Of course, these rays all come from the photon region.

The angles ( gamma ) , ( alpha ) and ( eta ) can provide us the shadow of black hole in the celestial sphere like Fig. 3. One can imagine that an observer at the center of sphere receives light rays from the photon region in Fig. 3. Thus, the tangents of light rays ك و ث are along (mathrm) and (mathrm) respectively, and their included angle is (gamma =angle mathrm). Similarly, the light ray ل is along (mathrm) and (alpha =angle mathrm) , (eta =angle mathrm). We can use (gamma ) as a representation of the size of shadow, that is, the larger (gamma ) , the larger the size of shadow.

For the sake of convincing in researching the shadow, one can use the following stereographic projection (Fig. 4) for the celestial coordinates to describe the shape of shadow in a 2د-plane [52].

Here, ( Phi equiv angle mathrm ) and ( Psi equiv pi /2-angle mathrm ) are azimuth angle and polar angle in celestial coordinate system.

In order to quantitatively describe shadow’s shape, a distortion parameter ( Xi ) in terms of ( alpha ) , ( eta ) and ( gamma ) is introduced, which is defined as

where ( Xi ) ranges from 0 to ( pi ) . We only care about the hemisphere where the shadow is. If the shadow is not deformed, the boundary is a perfect circle, which means that the shadow is a spherical cap on the hemisphere. In this case, ( cos Xi =0 ) . If the shadow is deformed, (cos Xi e 0) . Specifically, the symbol of ( cos Xi ) corresponds to the following two cases:

For ( cos Xi ) is negative, the boundary point (mathrm) is located in the spherical cap whose bottom surface is a circle with diameter (l_>)

For ( cos Xi ) is positive, the boundary point (mathrm) is outside the spherical cap whose bottom surface is a circle with diameter (l_>) .

Here, (l_>) is the length of the line segment (mathrm). In addition, the absolute value of ( cos Xi ) is proportional to the degree of deformation that can be seen from the graph of the cosine function. The authors of Ref. [53] first proposed this kind of quantity for the shadow. It is not difficult to find that . As shown in Fig. 3, any point (mathrm) on the shadow contour corresponds to the unique (cos Xi ) and (Phi /gamma ) . Therefore, considering the symmetry of the shadow, we can obtain the degree of deviation of each point on the shadow contour from the circle through the functional image of (cos Xi ) with respect to (Phi /gamma ) . Now, we can use ( gamma ) and ( Xi ) to represent the sizes and shapes of shadows without confusion.


شاهد الفيديو: مسلسل كوري الثقب الاسود ح 1 قسم 4 (شهر فبراير 2023).