الفلك

دقة طريقة لابلاس في تحديد العناصر المدارية

دقة طريقة لابلاس في تحديد العناصر المدارية


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

اضطررت مؤخرًا إلى تطبيق طريقة لابلاس وتطبيقها على 3 ملاحظات للمريخ (10 أيام بين ملاحظتين). كانت النتائج جيدة جدًا ، مع وجود تناقضات مع البيانات الحقيقية أقل بكثير من 5٪ في معظم العناصر المدارية.

افترضت أن طريقة لابلاس كانت دقيقة للغاية ، لذا حاولت تطبيقها على كويكب (CASLEO ، 5387). كانت الملاحظات الثلاثة متباعدة أيضًا لمدة 10 أيام ولكن النتائج الآن تختلف على نطاق واسع عن العناصر المدارية الحقيقية.

توقعت أن تكون أقل دقة مما كانت عليه في حالة المريخ لأن الملاحظات غطت جزءًا أقل من المدار ، لكن بعض العناصر كانت بعيدة كل البعد عن المتوقع.

لذا سؤالي هو: ما هي دقة طريقة لابلاس؟ هل هي حقًا حساسة للمسافة؟


من حيث المبدأ ، يجب أن تكون طريقة لابلاس (وطريقة جاوس) دقيقة للغاية لتحديد المدارات.

بالطبع تنطبق عبارة "القمامة في القمامة" ، وإذا كانت الملاحظات غير دقيقة ، فقد تكون النتائج غير دقيقة أيضًا. ومع ذلك ، يجب ألا تحصل على تناقضات كبيرة. سأفكر في التحقق بعناية من حساباتك ، وربما مقارنة نتائجك بنتائج محدد مداري مستقل ، للتحقق من وجود خطأ في الرياضيات.


دقة طريقة لابلاس في تحديد العناصر المدارية - علم الفلك

طريقة لابلاس هي معيار لحساب المدار الأولي. تعمل بعض التعديلات على تعزيز فعاليتها: تقليل الملاحظات ، إذا لزم الأمر ، باستخدام معيار L1 ، استخدم متعدد الحدود ، الذي يتم تحديد ترتيبه من خلال معايير غير شخصية ، لحساب المشتقات الأولى والثانية من كميات الملاحظة التي تجمع بين المعادلات المنفصلة ، واحدة لتحديد المسافة مركزية الجسم من الجسم والآخر مسافة مركزية الأرض ، في معادلة متعددة الحدود لمسافة مركزية الشمس ، والتي تم العثور على جذورها بواسطة خوارزمية قياسية تستخدم العودية لحساب سلسلتي f و g. يوصى بإجراء تصحيح تفاضلي واحد على الأقل لزيادة دقة العناصر المدارية المحسوبة. المشاكل الصعبة ، عدم تقارب التصحيحات التفاضلية ، على سبيل المثال ، يمكن معالجتها من خلال إجمالي المربعات الصغرى أو انحدار التلال. تم تطبيق هذه الطريقة لأول مرة لحساب مدار أولي للمذنب P / 1846 D1 (de Vico) من 59 ملاحظة تم إجراؤها خلال خمسة أيام في عام 1995 ثم على جسم أكثر صعوبة ، وهو الكوكب الصغير من نوع Amor 1982 DV (3288 Seleucus).


دقة طريقة لابلاس في تحديد العناصر المدارية - علم الفلك

طريقة لابلاس هي معيار لحساب المدار الأولي. بعض التعديلات الملخصة لفترة وجيزة تعزز فعاليتها. يوصى بإجراء تصحيح تفاضلي واحد على الأقل ، ويصبح أحيانًا ضروريًا ، لزيادة دقة العناصر المدارية المحسوبة. المشاكل الصعبة ، عدم تقارب التصحيحات التفاضلية ، على سبيل المثال ، يمكن معالجتها من خلال إجمالي المربعات الصغرى أو انحدار التلال. تمثل التصحيحات التفاضلية أكثر من مجرد الحصول على اتفاق أفضل مع الملاحظات ، ولكنها وسيلة يمكن من خلالها حساب مدار مرضٍ. يتم تطبيق الطريقة على ثلاثة أمثلة مختلفة الصعوبة: لحساب مدار أولي للمذنب 122 / P de Vico من 59 ملاحظة تم إجراؤها خلال خمسة أيام في عام 1995 ، الحساب الأكثر صعوبة لكائن جديد محتمل مع توزيع سيئ للملاحظات فشل أسلوب Herget لهذا المثال وأخيرًا كائن صعب حقًا ، كوكب Amor الصغير من نوع 1982 DV (3288 Seleucus). بالنسبة لهذا الكائن الأخير ، يصبح استخدام الانحدار L 1 ضروريًا لحساب مدار أولي. بالنسبة لهذا المدار ، فإن طريقة لابلاس تقارن بشكل إيجابي مع طريقة غاوس.


إجراء بسيط لتوسيع طريقة غاوس لتحديد المعلمات المدارية من ثلاثة إلى ن نقاط

تم تطوير إجراء بسيط لتحديد العناصر المدارية لجسم يدور في مجال القوة المركزية والذي يساهم في أكثر من ثلاثة مواقع سماوية مستقلة. من خلال التلاعب بطريقة Gauss الرسمية من ثلاث نقاط لتحديد المدار ، مجموعة أولية من نواقل حالة مركزية الشمس ص أنا و ( نقطة < mathbf>_) تم حسابه. ثم باستخدام حقيقة أن الكائن يتبع المسار الذي يحافظ على ثوابت الحركة دون تغيير ، اشتق الكميات المحفوظة من خلال تطبيق طريقة الانحدار الخطي البسيطة على متجهات الحالة ص أنا و ( نقطة < mathbf>_). يتم إصلاح أفضل مستوى مداري من خلال تطبيق إجراء تكراري يقلل من التباين في حجم الزخم الزاوي للمدار. يتم استخدام نفس الإجراء لإصلاح شكل واتجاه المدار في المستوى عن طريق تقليل التباين في إجمالي الطاقة وناقل Laplace Runge Lenz. تم اختبار الطريقة باستخدام بيانات محاكاة لكوكب افتراضي يدور حول الشمس.

هذه معاينة لمحتوى الاشتراك ، والوصول عبر مؤسستك.


العناصر المدارية - تحديد الطريقة

أنا أبحث في كتاب له طريقة لحساب العناصر المدارية الستة. أنا أرفق الصفحات ذات الصلة. معرفتي بالمدارات تقتصر على معرفة معنى العناصر الستة. ما أود معرفته هو من أين أتت هذه المعادلات ، وهل المؤلف على حق عندما يقول ، واقتبس من (87) و (88) & quot في أسفل الصفحة 39. أظن أنه كان يقصد 86 و 87.

لقد سمعت عن طرق Gauss و LaPlace لتحديد المدارات. هل النهج معطى واحد من هؤلاء؟ يشير إلى Herget كمصدر في أعلى الصفحة 40. يمكنني الوصول إليه ، ولكن ليس من السهل استعراضه للعثور على النهج في الصفحة 40.


R.H Bartels G. H. Golub (1968) ArticleTitle "Algorithm 328: Chebyshev solution to a overdetear system" كومون. ACM 11 428–430 مقبض الحدوث 39 # 2302

أ. Björck (1996) الطرق العددية لمشاكل المربعات الصغرى SIAM Philadelphia 101

RL Branham Suffix Jr. (1986) مقال بعنوان "تقديرات الخطأ مع L.1 حلول' سلست. ميكانيكي. 39 239-247 التعامل مع الحدث 1986CeMec..39..239B مقبض الحدوث 88 م: 65065

RL Branham Suffix Jr. (1990) التحليل العلمي للبيانات Springer New York

RL Branham Suffix Jr. (1995) مقال بعنوان "الانحدار المتعامد متعدد المتغيرات في علم الفلك" سلست. ميكانيكي. 61 239-251 مقبض التواجد 10.1007 / BF00051895 مقبض التواجد 1995CeMDA..61..239B مقبض التواجد 0821.62038 مقبض التواجد 88 م: 65065

R.L. Branham Suffix Jr. (1999) مقال بعنوان "مصفوفة التغاير لإجمالي المربعات الصغرى مع بيانات غير متجانسة" أسترون. ج. 117 1942-1948 التعامل مع الحوادث 1999AJ. 117.1942 ب

R.L. Branham Suffix Jr. (2001) مقال بعنوان "تقليل البيانات الفلكية بإجمالي المربعات الصغرى" نيو استرون. القس. 45 649 - 661 مؤشر الحدوث 2001NewAR..45..649B

R.L. Branham Suffix Jr. (2004) Laplacian Orbit Decision "R. Teixeira N.V. Leister V.A.F. Martin P. Benevides-Soares (Eds) Astrometry in Latin America: ADeLA Publ. سر. رقم 1 جامعة. ساو باولو ساو باولو 97

R.L. Branham Suffix Jr. (2005) مقال بعنوان "Orbit of Comet 122P / de Vico" القس مكس. أسترون. الفلك. 41 مقبض الحدوث 87 2005RMxAA.41. 87 ب

H. Debehogne R.R. Mourao G. Vieira (1984) مقال بعنوان "مواقف المذنب Bowell (1982 ب) ، الكويكب 1982 DV and 51 Nemausa ، مارس 1982 ، مع GPO ، ESO-CHILE" اكتا الفلكية. 34 129-134 معالجة التواجد 1984AcA. 34. 129 د

H. Eichhorn (1990) "اختيار النموذج الصحيح لتعديل الملاحظات" C. Jaschek F. Murtagh (محرران) الأخطاء والتحيز وعدم اليقين في علم الفلك مطبعة جامعة كامبريدج كامبريدج 133-152

P. Herget (1948) حساب المدارات Edwards Bros. Ann Arbor، MI

بي هيرجيت (1965) مقال بعنوان "حساب المدارات الأولية" أسترون. ج. 70 1 مقبض التواجد 10.1086 / 109671 مقبض التواجد 1965AJ. 70. 1H

NJ Higham (2002) دقة واستقرار إصدار الخوارزميات العددية رقم 2 SIAM Philadelphia

ملاحظة. لابلاس (1966) عدد الميكانيكا السماوية ، المجلد الأول ، تشيلسي ، نيويورك

ج. مارسدن (1985) مقال بعنوان "تحديد المدار الأولي: وجهة نظر البراغماتية" أسترون. ج. 50 1541-1547 التعامل مع الحوادث 1985AJ. 90.1541 م

Moré، J.، Garbow، B. and Hillstrom، K: 1980، "User guide for MINPACK-1"، Argonne Nat. مختبر. ريبت. ANL-80-74 ، أرغون ، إلينوي.

إتش. بلامر (1960) رسالة تمهيدية في علم الفلك الديناميكي دوفر نيويورك 76-77

هل. اضغط على S.A. Teukolsky WT Vetterling B.P. Flannery (1996) Numerical Recipes in Fortran 90 EditionNumber 2 Cambridge University Press Cambridge 1292–1293

إل جي. تاف (1985) الميكانيكا السماوية وايلي نيويورك

Zadunaisky، P.، and Peryera، V: 1965، "حول التقارب والدقة في عملية التصحيحات التفاضلية المتتالية" ، في: بروك. ندوة الاتحاد الدولي لمعالجة المعلومات، 1965 ، نيويورك ، ص 488-489.


محتويات

تحديد المدار له تاريخ طويل ، بدءًا من اكتشاف الكواكب في عصور ما قبل التاريخ والمحاولات اللاحقة للتنبؤ بحركاتها. استخدم يوهانس كيبلر ملاحظات تايكو براهي الدقيقة للمريخ لاستنتاج الشكل الإهليلجي لمدارها وتوجهها في الفضاء ، واشتق قوانينه الثلاثة لحركة الكواكب في هذه العملية.

نشأت الطرق الرياضية لتحديد المدار مع نشر الطبعة الأولى لنيوتن عام 1687 مبادئ، والتي أعطت طريقة لإيجاد مدار جسم يتبع مسارًا مكافئًا من ثلاث ملاحظات. [1] استخدم إدموند هالي هذا لإنشاء مدارات مذنبات مختلفة ، بما في ذلك تلك التي تحمل اسمه. تمت صياغة طريقة نيوتن للتقريب المتتالي في طريقة تحليلية بواسطة أويلر في عام 1744 ، والذي تم تعميم عمله بدوره على المدارات الإهليلجية والقطعية بواسطة لامبرت في 1761-1777.

معلم آخر في تحديد المدار هو مساعدة كارل فريدريش جاوس في "استعادة" الكوكب القزم سيريس في عام 1801. تمكنت طريقة غاوس من استخدام ثلاث ملاحظات فقط (في شكل إحداثيات سماوية) للعثور على العناصر المدارية الستة التي تصف تمامًا مدار. تم تطوير نظرية تحديد المدار في وقت لاحق لدرجة أنه يتم تطبيقها اليوم في مستقبلات GPS بالإضافة إلى تتبع وفهرسة الكواكب الصغيرة المرصودة حديثًا.

من أجل تحديد المدار المجهول لجسم ما ، هناك حاجة إلى بعض ملاحظات حركته مع مرور الوقت. في وقت مبكر من علم الفلك الحديث ، كانت بيانات الرصد الوحيدة المتاحة للأجرام السماوية هي الصعود والانحدار الصحيح ، الذي تم الحصول عليه من خلال مراقبة الجسم أثناء تحركه في قوس المراقبة الخاص به ، بالنسبة للنجوم الثابتة ، باستخدام التلسكوب البصري. يتوافق هذا مع معرفة الاتجاه النسبي للكائن في الفضاء ، المقاس من المراقب ، ولكن بدون معرفة مسافة الكائن ، أي أن القياس الناتج يحتوي فقط على معلومات الاتجاه ، مثل متجه الوحدة.

مع الرادار ، يمكن استخدام قياسات المسافة النسبية (حسب توقيت صدى الرادار) وقياسات السرعة النسبية (عن طريق قياس تأثير دوبلر لصدى الرادار) باستخدام التلسكوبات الراديوية. ومع ذلك ، فإن قوة الإشارة التي يتم إرجاعها من الرادار تتناقص بسرعة ، مثل القوة الرابعة المعكوسة من النطاق إلى الجسم. يحد هذا عمومًا من عمليات المراقبة الرادارية للأشياء القريبة نسبيًا من الأرض ، مثل الأقمار الصناعية والأجسام القريبة من الأرض. تسمح الفتحات الأكبر بتتبع المستجيبات على المركبات الفضائية بين الكواكب في جميع أنحاء النظام الشمسي ، وعلم الفلك الراداري للأجسام الطبيعية.

تقوم العديد من وكالات الفضاء ومقدمي الخدمات التجارية بتشغيل شبكات تتبع لتوفير هذه الملاحظات. انظر الفئة: Deep Space Network للحصول على قائمة جزئية. كما يتم بانتظام تتبع الأقمار الصناعية من الفضاء. انظر قائمة التلسكوبات الراديوية # شبكة فضائية وفضائية.

يجب أن يأخذ تحديد المدار في الاعتبار أن الحركة السماوية الظاهرية للجسم تتأثر بحركة الراصد نفسه. على سبيل المثال ، يجب على المراقب على الأرض الذي يتتبع كويكبًا أن يأخذ في الاعتبار حركة الأرض حول الشمس ، ودوران الأرض ، وخط الطول والعرض المحلي للراصد ، حيث تؤثر هذه العوامل على الموضع الظاهري للجسم.

ملاحظة رئيسية هي أن جميع الأجسام (لتقريب قريب) تتحرك في مدارات ذات مقاطع مخروطية ، مع التركيز الأساسي على الجسم الجاذب (مثل الشمس أو الأرض) ، وأن المدار يقع في مستوى ثابت. المتجهات المستمدة من الجسم الجاذب إلى الجسم في نقاط زمنية مختلفة تقع جميعها في المستوى المداري.

إذا كان الموقع والسرعة بالنسبة إلى الراصد متاحين (كما هو الحال مع ملاحظات الرادار) ، يمكن تعديل بيانات الرصد هذه من خلال الموقع والسرعة المعروفين للمراقب بالنسبة إلى الجسم الجاذب في أوقات المراقبة. هذا يعطي الموقع والسرعة بالنسبة لجسم الجاذبية. إذا توفرت اثنتان من هذه الملاحظات ، جنبًا إلى جنب مع فارق التوقيت بينهما ، يمكن تحديد المدار باستخدام طريقة لامبرت ، التي تم اختراعها في القرن الثامن عشر. راجع مشكلة لامبرت للحصول على التفاصيل.

حتى في حالة عدم توفر معلومات عن المسافة ، لا يزال من الممكن تحديد مدار إذا تم إجراء ثلاث ملاحظات أو أكثر لصعود الجسم وانحداره الصحيح. طريقة جاوس ، التي اشتهرت في عام 1801 "انتعاش" أول كوكب صغير مفقود ، سيريس ، تم صقلها لاحقًا.

أحد الاستخدامات هو تحديد كتل الكويكبات عبر الطريقة الديناميكية. في هذا الإجراء ، يتم استخدام طريقة Gauss مرتين ، قبل وبعد التفاعل الوثيق بين كويكبين. بعد تحديد كلا المدارين ، يمكن تحديد كتلة أحد الكويكبات أو كليهما. [ بحاجة لمصدر ]


الملخص

طريقة لابلاس هي طريقة نموذجية لحساب المدار للأقواس القصيرة في نموذج مشكلة الجسمين. إذا كان القياس الزاوي دقيقًا مثل 10 4 - 10 5 (2 - 20،) ، فيجب مراعاة انحراف الأرض في الحساب. في هذا البحث ، تم تقديم نظرية وإجراءات طريقة لابلاس المحسنة مع أمثلة عددية. إلى جانب حساب المدار بقياسات متعددة ، فإن الطريقة التي تمت مناقشتها في هذه الورقة هي طريقة فعالة لتحسين دقة حساب المدار بشكل عام. إنه كلما كان أكثر فائدة كلما زاد التلاشي.


دقة طريقة لابلاس في تحديد العناصر المدارية - علم الفلك

برامج Qbasic
بقلم نيل إتش جاكوبي جونيور.

برنامج لابلاس
برنامج LP3SCG.bas

هذه البرامج ، التي تطبق مبادئ الديناميكا الفلكية ، تحسب مدارًا شمسيًا لأي جسم في نظامنا الشمسي مع الأخذ في الاعتبار ثلاث ملاحظات لصعوده الصحيح ، ألفا ، وانحرافه ، ودلتا ، وأوقات هذه الملاحظات في أيام يوليوس. يجب أن تكون كل من هذه الملاحظات متباعدة بشكل متساوٍ تقريبًا في الوقت قدر الإمكان ويجب أيضًا أن تكون منسقات الطاقة الشمسية في نفس الوقت الذي يتم فيه إجراء الملاحظات. تم الحصول على هذه المنسقات الشمسية من التقويم الفلكي الذي نشره المرصد البحري الأمريكي.

يمكن أيضًا الحصول على إحداثيات الطاقة الشمسية باستخدام مولد إحداثيات شمسي (تطبيق مبادئ الديناميكا الفلكية) ، والتي طورها المؤلف ودمجها في برنامج لابلاس الحالي باستخدام ثلاث ملاحظات. هذا يعني أنه بدلاً من إدخال إحداثيات الطاقة الشمسية المقابلة لكل من الملاحظات الثلاثة في البرنامج ، يحتاج المستخدم فقط إلى إدخال التواريخ اليوليانية الثلاثة (بالأيام لكل ملاحظة) ، مما يقلل وقت الإدخال إلى النصف تقريبًا. يقوم المؤلف بتسمية هذا البرنامج LP3SCG ، والذي تمت مناقشته في قسم طريقة لابلاس في هذا التقرير. يرحب بالمستخدم بشدة لتنزيل قائمة هذا البرنامج ، LP3SCG ، من خلال النقر على برنامج LP3SCG.bas. ولكن بعد قيام المستخدم بتنزيل هذا البرنامج ، فإنه لا يعد برنامجًا قابلاً للتنفيذ. لجعل LP3SCG.bas قابلاً للتنفيذ ، يجب على المستخدم كتابة البرنامج الذي تم تنزيله LP3SCG في جهاز الكمبيوتر الخاص به باستخدام لغة Q-basic. اختبر المؤلف هذا البرنامج ، LP3SCG ، على عدد من مدارات الكواكب في نظامنا الشمسي ، ووجد أن الدقة جيدة تمامًا مثل طريقة لابلاس الأصلية عندما تم إدخال الإحداثيات الشمسية (كما تم الحصول عليها من The Astronomical Almanac) في لابلاس برنامج بدون مولد تنسيق الطاقة الشمسية.

في جميع برامج تحديد المدار هذه ، تستند كل من الصعود الأيمن للأشياء المرصودة ، ألفا وانحرافها ، دلتا على نظام إحداثيات خط الاستواء للأرض بالإضافة إلى الإحداثيات الشمسية ، X و Y و Z بينما زوايا الاتجاه i و Node و Omega من مدار الكائن المرصود كلها تستند إلى نظام إحداثيات مسير الشمس للأرض. يجب على مستخدم كل برامج تحديد المدار أن يتذكر دائمًا أنه بسبب حركة الأرض ، يتغير خط الاستواء والاعتدال بمرور الوقت. تُعرف بدورة الأرض هذه بالدوران العام للأرض في خط الطول على طول مسير الشمس للأرض ومعدلها 1.397 درجة لكل قرن يولياني. لذلك فإن الصعود والانحدار الصحيحين للكائن المشار إليهما في خط الاستواء والاعتدال للتاريخ يجب أن يتفق مع الإحداثيات الشمسية X ، Y ، Z المشار إليها في نفس خط الاستواء والاعتدال في ذلك التاريخ.

إذا كان مدار الجسم هو مركز الأرض ، فإن ألفا ودلتا و X و Y و Z وزوايا الاتجاه i و Node و omega تعتمد جميعها على نظام إحداثيات خط الاستواء للأرض. بالطبع ، يشير المحور x دائمًا نحو الاعتدال الربيعي في كل من نظام إحداثيات خط الاستواء ومسير الشمس. في هذه الحالة ، يتم قياس أوقات المراقبة بالدقائق. تنطبق نفس مبادئ الديناميكا الفلكية في هذه الحالة.

بالعودة إلى حالة مركزية الشمس ، يجب تحديد أوقات كل من هذه الملاحظات والوحدات بالأيام. ناتج هذا البرنامج هو العناصر المدارية وهي a ، المحور شبه الرئيسي ، e ، انحراف المدار وزوايا الاتجاه ، وهي ، i ، ميل المدار إلى مستوى مسير الشمس ، العقدة الصاعدة OMEGA ، وحجة الحضيض ، أوميغا. العنصر الأخير ، T ، وهو وقت مرور العصر الأخير لم يتم حسابه في هذا البرنامج ولكن سيتم إضافته لاحقًا. يجب أن يكون الفاصل الزمني بين كل من الملاحظات الثلاث صغيرًا بما يكفي للسماح باستخدام المتسلسلتين f و g لتقليل خطأ الاقتطاع إلى الحد الأدنى ، ولكنه كبير بما يكفي لتحديد المدار بدقة.

بعد ذلك الإدخال ، الذي يطلبه هذا البرنامج من المستخدم ، هو تخمين أولي ذكي لـ r ، وهي المسافة في الوحدات الفلكية (a.u.'s) من الشمس إلى الجسم المرصود. يتم تحديد القيمة النهائية لـ r من طريقة نيوتن للتكرار حيث دلتا (r) هي تصحيح لـ r في طريقة لابلاس. يستمر هذا التكرار حتى يصبح ABS (دلتا (r)) أقل من أو يساوي eps ، حيث تكون eps هي التسامح أو حد التقارب. عادةً ما تكون قيمة eps أقل من 0.000001 a.u. أو تساويها ، والتي يجب على المستخدم تحديدها. في نفس سطر الإدخال ، يجب على المستخدم أيضًا تحديد eps2 وهو التسامح (بالدرجات) لتمثيل ملاحظات ألفا ودلتا. عادةً ما يتم تحديد eps2 ليكون مساويًا لـ 0.0001 من الدرجة الفعلية لألفا ودلتا. يتم استخدام eps2 في جزء التصحيح التفاضلي Leuschner لهذا البرنامج باستخدام ثلاث ملاحظات وواحدة لخمس ملاحظات.

أخيرًا ، يطلب البرنامج من المستخدم تحديد الحد الأقصى لعدد التكرارات ، أي. imax ، و mu ، حيث يتم تعريف mu على أنها نسبة كتلة الشمس بالإضافة إلى الكائن المرصود إلى كتلة الشمس. نظرًا لأن كتلة الجسم المرصود ، مثل الكويكب أو المذنب ، لا تكاد تذكر مقارنة بكتلة الشمس ، فيمكن افتراض أن mu تساوي 1.0. في الممارسة العملية ، من الأفضل تعيين imax = 10.

يمكن العثور على تخمين ذكي لـ r إما بيانياً أو على النحو التالي. أولاً ، معظم الأشياء التي تهمنا في نظامنا الشمسي هي الكويكبات التي تقع بين مداري المريخ والمشتري ، حيث تتراوح قيمة r بين 1.52 au و 5.23 au's من الشمس تقريبًا. ثانيًا ، طالما أن الانحراف اللامركزي لمدار الكويكب المرصود ليس كبيرًا جدًا ، فيمكن تقريب r من خلال معرفة الفترة التجميعية للكويكب ، والتي يمكن ملاحظتها أو تقريبها من الملاحظات. تُعرَّف الفترة التجميعية بأنها الفترة الزمنية بين اقتران متتاليين للكويكب المرصود بالنسبة إلى نفس الخلفية النجمية كما لوحظ من الأرض. من خلال معرفة هذه الفترة المجمعية ، يمكن حساب الفترة الفلكية المرصودة للكويكب من الصيغة التالية. أولاً ، دع E = سنة واحدة ، فترة فلكية للأرض. ثم دعونا Psy = الفترة المجمعية المرصودة للكويكب ، بالسنوات. لذلك تم العثور على الفترة الفلكية المرصودة للكويكب ، P ، من P = Psy / (Psy-1) ، حيث P هي بالسنوات. ثم معرفة الفترة النجمية للكويكب المرصود ، يمكن بعد ذلك تقريب r من خلال تطبيق قانون كبلر الثالث وهو P ^ 2 = a ^ 3 ، حيث P بالسنوات و a هو المحور شبه الرئيسي في au's.

يستخدم هذا البرنامج طريقة لابلاس لتحديد المدار الأولي وطريقة ليوشنر للتصحيح التفاضلي. تستخدم هذه الطرق المتسلسلة f و g (أحد المفاهيم الأساسية في الديناميكا الفلكية) ، والتي يتم نقلها إلى المشتقة السادسة وتضمينها. الناتج النهائي لجميع برامج تحديد المدار هذه هي عناصر المدار الأولي والعناصر النهائية بعد اكتمال تصحيح Leuschner التفاضلي. إذا كانت الملاحظات الثلاثة أو الخمس جيدة ، فإن التقارب في تصحيحات Leuschner التفاضلية ، يجب أن يحقق التسامح المطلوب في حدود 0.0001 من درجة ألفا ودلتا الملاحظة الفعلية وخلال عشر تكرارات.

إذا كان انحراف الكائن المرصود سالبًا ، فيجب إدخال الدرجات والدقائق والثواني كأرقام سالبة.

يعمل هذا البرنامج بنفس الطريقة (تطبيق المبادئ الأساسية للديناميكا الفلكية) مثل المراقبة الثلاثة لابلاس ، باستثناء خمس ملاحظات بدلاً من ثلاث يجب إدخالها بالإضافة إلى الإحداثيات الشمسية التي يتم الحصول عليها في نفس الوقت الذي يتم فيه إجراء الملاحظات. كما في السابق ، يتم الحصول على هذه المنسقات الشمسية من التقويم الفلكي.
وجد أن خمس ملاحظات بدلاً من الثلاثة المعتادة ، تم الحصول على دقة أكبر بشكل عام في تحديد العناصر المدارية ، أي المحور شبه الرئيسي ، الانحراف ، الميل ، العقدة الصاعدة ، والأوميغا ، حجة الحضيض ، من أجل مدارات انحراف منخفضة إلى معتدلة. بالإضافة إلى ذلك ، فإن برنامج المراقبة الخمس هذا ينتج T ، وقت آخر مرور للحضيض الشمسي. كما كان من قبل ، فإن زوايا الاتجاه ، والميل أنا ، وزاوية العقدة الصاعدة ، وتسمى العقدة ، وأوميغا ، حجة الحضيض ، كلها تستند إلى نظام إحداثيات مسير الشمس للأرض.

من النتائج المهمة جدًا حتى الآن ، في هذا البحث حول استخدام أساليب لابلاس ولوشنر لتحديد المدار (في علم الديناميكا الفلكية) ، أنه يجب اختيار كل من الملاحظات الثلاثة أو الخمس بحيث يكون صعود الجسم وانحداره بشكل متساوٍ تقريبًا متباعدة قدر الإمكان في ألفا ودلتا بالإضافة إلى أوقات المراقبة الخاصة بهم للحصول على أفضل دقة. لقد وجد أنه إذا كانت أي اثنتين من الملاحظات الثلاثة أو الخمس لألفا ودلتا متقاربة جدًا ، ينتج عن ذلك تحديد ضعيف للعناصر المدارية ولا يوجد تقارب في التصحيحات التفاضلية. يمكن أن يحدث هذا الموقف المؤسف إذا كانت أي اثنتين أو أكثر من الملاحظات عند نقطة أو قريبة جدًا منها عندما يبدأ الكائن المرصود أو ينهي حركة رجعية كما لوحظ من الأرض. لذلك من الأفضل اختيار الملاحظات أثناء الوقت الذي يكون فيه الكائن المرصود بالكامل إما في حركة مباشرة أو رجعية وليس في بداية أو نهاية الحركة التراجعية. وجد أيضًا أن أدق تحديد لمدار مركزية الشمس نتج عندما كان الفاصل الزمني بين كل ملاحظة ناجحة من 15 إلى 25 يومًا للكويكبات بين مداري المريخ والمشتري. بالنسبة للأجسام التي تدور حول مركزية الشمس والتي تقع مداراتها خارج مدار كوكب المشتري ، يجب أن يتراوح هذا الفاصل الزمني بين 25 إلى 50 يومًا.

هناك نتيجة أخرى مهمة للغاية في هذا البحث وهي أن التحديد الأكثر دقة للعناصر المدارية حدث عندما كانت الملاحظة الوسطى للملاحظات الثلاثة والخامسة عند نقطة معارضة الكائن أو بالقرب منها جدًا ، أي زاوية استطالة كانت 180 درجة. (تُعرَّف زاوية الاستطالة بأنها الزاوية المقاسة من الاتجاه إلى الشمس إلى اتجاه الجسم كما يُلاحظ من الأرض.) كان هذا هو اكتشاف المدارات ذات الانحراف المركزي المنخفض إلى المتوسط. أيضًا عند نقطة التعارض أو بالقرب منها ، يتغير صعود الجسم وانحداره الأيمن بسرعة أكبر ، حيث تكون حركة الكائن عمودية تقريبًا على خط الرؤية. في حالة المدارات عالية اللامركزية ، مثل مدار المذنب ، يجب اختيار الملاحظات الثلاثة أو الخمس بحيث يكون تغير المذنب في الصعود والانحدار الأيمن أقصى حد. ومع ذلك ، قد لا يكون هذا التغيير الأقصى بالضرورة عند نقطة المعارضة أو بالقرب منها.

لقد أجريت مزيدًا من البحث في تحديد عناصر مدارات المذنبات باستخدام ثلاث وخمس مشاهدات للصعود والانحدار الصحيحين ، وكانت النتيجة المهمة لهذا البحث أن استخدام ثلاث ملاحظات بدلاً من خمسة أعطت تحديدًا أكثر دقة لعناصر المذنبات. يدور في مدار. والسبب في ذلك هو أنه لم يكن هناك فقط تقارب سريع خلال عشر تكرارات في التصحيحات التفاضلية للتفاوت المطلوب ، ولكن أيضًا توقع دقيق للغاية للصعود والانحدار الصحيح للمذنب في وقت ما في المستقبل. تم العثور على دقة التنبؤ هذه ضمن 0.01 من درجة الصعود والانحدار الفعلي للمذنب في جميع الحالات تقريبًا.

من ناحية أخرى ، عند استخدام خمس ملاحظات للصعود والانحدار الأيمن ، تم الحصول على نتائج سيئة لأنه لم يكن هناك تقارب في التصحيحات التفاضلية بغض النظر عن عدد التكرارات التي سمح بها المستخدم. على ما يبدو ، أفسدت الملاحظتان الإضافيتان النتائج النهائية بسبب الانحراف الشديد لمدار المذنب. حدثت هذه النتائج المؤسفة في جميع الحالات تقريبًا. لذلك يُنصح بشدة أن يستخدم المستخدم ثلاث ملاحظات وليس خمسًا في تحديد العناصر ذات الانحراف الشديد في مدارات المذنبات.

تم استخدام مدارات Comet Hale-Bopp و Comet S4 Linear في هذا البحث لأن مداريهما لهما انحراف عالٍ جدًا ، أي 0.9

أخيرًا ، في حالات المدارات التي تتراوح من المدارات ذات الانحراف المنخفض إلى المدارات ذات الانحراف الشديد عن مركزية الشمس ، يجب أن يكون لكل الملاحظات الثلاثة أو الخمس للكائن زاوية استطالة أكبر من 120 درجة شرق الشمس وأكبر من 120 درجة غرب الشمس للحصول على أفضل رؤية من الكائن الذي يتم ملاحظته.

يحسب هذا البرنامج الصعود الأيمن لكائن مركزية الشمس ، ألفا ، والانحدار ، دلتا ، بالنظر إلى العناصر المدارية للكائن ، الوصول شبه الرئيسي a ، غريب الأطوار e ، الميل i ، زاوية العقدة الصاعدة ، تسمى العقدة ، وسيطة الحضيض ، والشذوذ المتوسط ​​، M ، في وقت الملاحظة المرجعية. يتم التعبير عن الزوايا i و Node و omega بالدرجات. إذا تم استخدام برنامج المراقبة 3 ، فإن الملاحظة المرجعية هي الملاحظة الثانية ، وإذا تم استخدام برنامج المراقبة 5 ، فإن الملاحظة المرجعية هي الملاحظة الثالثة. يجب تحديد الوقت المطلوب للمراقبة المستقبلية ويجب أيضًا تحديد منسقي الطاقة الشمسية في هذا الوقت المطلوب. كما في السابق ، يتم الحصول على منسقات الطاقة الشمسية من التقويم الفلكي. يتم قياس الوقت المطلوب للمراقبة المستقبلية من وقت الملاحظة الثانية إذا تم استخدام 3 ملاحظات وإذا تم استخدام 5 ملاحظات ، يتم قياس هذا الوقت المطلوب من وقت الملاحظة الثالثة. كما كان من قبل ، يُقاس الوقت بالأيام اليوليانية.
يجب أن يتذكر مستخدم هذا البرنامج ، أن زوايا الاتجاه ، i ، و node ، و omega ، تستند إلى نظام مسير الشمس للمنسقين وأن الصعود والانحدار الصحيحين يعتمدان على نظام إحداثيات خط الاستواء.

برنامج Kepler.bas
يحل هذا البرنامج معادلة كبلر عندما يتم إعطاء متوسط ​​الشذوذ ، M ، والغرابة ، e ، ويحتاج المرء إلى حل الشذوذ غريب الأطوار ، E. يتم حل E من خلال تطبيق طريقة نيوتن للتكرار. في معظم الحالات ، يتم إعطاء M و e وليس الشذوذ غريب الأطوار ، E.

تُستخدم معادلة كبلر ، M = E-e * sinE ، أيضًا في الشكل المغلق للسلسلة f و g. تكون معادلة كبلر مفيدة عندما يُعطى المرء العناصر المدارية ويحتاج المرء إلى التنبؤ بالكائن والصعود الصحيح والانحدار في وقت ما في المستقبل أو الماضي.

عند تشغيل هذا البرنامج ، سيطلب البرنامج من المستخدم إدخال الانحراف المركزي ، و e ، ومتوسط ​​الانحراف M بالراديان ، والحد المحدد للتقارب أو التسامح ، eps. عادةً ما تكون eps 0.000001 من الراديان. إذا كانت قيمة e بين 0 و 1 ، فسيتم توجيه المستخدم إلى الجزء الإهليلجي من البرنامج ، وإذا كانت e أكبر من 1 ، فسيتم توجيه المستخدم إلى الجزء الزائدي من البرنامج.

لم يتم تقديم حالة المدارات المكافئة ، حيث يكون e = 1 والمحور شبه الرئيسي a لا نهاية ، لأن هذه الأنواع من المدارات موجودة فقط من الناحية النظرية وليس في الواقع.

في كل برامج تحديد مدار مركزية الشمس هذه ، والتي طورتها ، تجدر الإشارة إلى أن هذه البرامج تشمل فقط مدارات كبلر (جسمان) وأنه لا يتم تضمين أي اضطرابات. يتم تحديد العناصر المدارية و ephemeris لجسم مركزية الشمس ، والتي ترد في التقويم الفلكي ، من خلال تضمين اضطرابات الكواكب القريبة في نظامنا الشمسي. لذلك فإن مدار الكائن ليس كبلر. حتى مع هذا التقريب Keplerian ، ومع ذلك ، فقد وجد أنه طالما كانت الملاحظات جيدة ، فإن نتائج كل برامج تحديد المدار والتنبؤ بالموقع ألفا ودلتا تتراوح من جيد إلى ممتاز. ومع ذلك ، إذا كانت هناك حاجة إلى تقويم فلكي دقيق للغاية لجسم ما ، فيجب تضمين اضطرابات الكواكب في هذا الكائن.


الطبعة الأولى ، العدد الثاني ، ولكن الأول الذي يحتوي على الملحق ، لاختراع طريقة المربعات الصغرى ، "آلية التحليل الإحصائي الحديث" وأصل "النزاع الأكثر شهرة في تاريخ الإحصاء" (Stigler ). "في عام 1805 نشر ليجيندر العمل الذي اشتهر به أساسًا في تاريخ الإحصاء ، Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes. في ثمانين صفحة ، أنتج هذا العمل كتابًا صغيرًا ، لكنه حصل على ملحق مكون من خمسة وخمسين صفحة (وأعيد طبع صفحة العنوان [أي العدد المعروض]) في يناير من عام 1806. من أجل الوضوح الصارخ للعرض ، فإن العرض التقديمي غير مسبوق ، يجب اعتباره أحد أوضح المقدمات وأكثرها أناقة لطريقة إحصائية جديدة في تاريخ الإحصاء. في الواقع ، لم يجد الإحصائيون في القرن التالي وثلاثة أرباعهم سوى القليل جدًا لتحسين ذلك ... يمكن أن يكون تفسير الطريقة تقريبًا من نص أولي في الوقت الحاضر "(المرجع نفسه.). "إن التقدم الكبير في علم الفلك الرياضي الذي تم إحرازه خلال السنوات الأولى من القرن التاسع عشر يرجع في جزء كبير منه إلى تطوير طريقة المربعات الصغرى. الطريقة نفسها هي الأساس لحساب أخطاء الملاحظة الآن تحتل مكانة ذات أهمية كبيرة في الدراسة العلمية للمشاكل الاجتماعية والاقتصادية والبيولوجية والنفسية. يقول جاوس في عمله على نظرية حركات الأجسام السماوية (1809) أنه استخدم هذا المبدأ منذ عام 1795 ولكن تم نشره لأول مرة بواسطة Legendre. The first statement of the method appeared as an appendix entitled “Sur la méthode des moindres quarrés” in Legendre’s Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes , Paris 1805” (Wolberg, ‘The Method of Least Squares,’ in Designing Quantitative Experiments, 2010). This is a rare book on the market, ABPC/RBH listing just four copies of either issue since 1941.

“[By] 1800 the principle of combining observational equations had evolved, through work of [Tobias] Mayer and [Pierre-Simon] Laplace, to produce a convenient ad hoc procedure for quite general situations. We have also seen how the idea of starting with a mathematical criterion had led, in work of [Roger] Boscovich and Laplace, to an elegant solution suitable for simple linear relationships involving only two unknowns. The first of these approaches developed through problems in astronomy the second was (at least in these early years) exclusively employed in connection with attempts to determine the figure of the earth. These two lines came together in the work of a man who, like Laplace, was an excellent mathematician working on problems in both arenas − Adrien Marie Legendre.

“Legendre came to deal with empirical problems in astronomy and geodesy at a time when [methods] had been developed separately in the two fields. It was also a time when a half-century's successful use of these methods had seen a change in the view scientists took of them − from Euler’s early belief that combination of observations made under different conditions would be detrimental to the later view of Laplace that such combination was essential to the comparison of theory and experience. Legendre brought a fresh view to these problems and it was Legendre, and not Laplace, who took the next important step.

“Legendre did not hit upon the idea of least squares in his first exposure to observational data. From 1792 on he was associated with the French commission charged with measuring the length of a meridian quadrant (the distance from the equator to the North Pole) through Paris. One of the major projects initiated by the National Convention in the early years after the French Revolution had been the decision in 1792 to change the ancient system of measurement by introducing the metric system as a new order, toppling existing standards of measurement in an action symbolic of the French Revolution itself. The basis of the new system was to be the meter, defined to be 1/10,000,000 of a meridian quadrant. It remained for French science to come up with a new determination of the length of this arc. In keeping with the nationalism that inspired the enterprise, the determination was to be based only on new measurements made on French lands. To this end an arc of nearly 10', extending from Montjouy (near Barcelona) in the south to Dunkirk in the north, was measured in 1795. By 1799 the complex task of reducing the multitude of angular measurements to arc lengths had been completed by J. B. J. Delambre and P. F. A. Mechain … In early 1799, Delambre published an extensive discussion of the theoretical results underlying the reduction of the raw data on this arc. This volume is prefaced by a short memoir by Legendre that is dated 9 Nivose, an VII (30 December 1798) and indicates that Legendre did not have the method of least squares at that time …

“The occasion for Legendre’s reconsideration of observational equations, and for the appearance of the method of least squares, was the preparation in 1805 of a memoir on the determination of cometary orbits. The memoir is a scant seventy-one pages (excluding the appendix) and, aside from a few brief remarks at the end of the preface, the method of least squares makes no appearance before page 64. Even this first mention of least squares seems to be an afterthought because, after presenting an arbitrary solution to five linear equations in four unknowns (one that assumed that two equations held exactly and two of the unknowns were zero), Legendre wrote that the resulting errors were of a size “quite tolerable in the theory of comets. But it is possible to reduce them further by seeking the minimum of the sum of the squares of the quantities E', E", E"'” (Nouvelles méthodes, p. 64). He then reworked the solution in line with this principle. It seems plausible that Legendre hit on the method of least squares while his memoir was in the later stages of preparation, a guess that is consistent with the fact that the method is not employed earlier in the memoir, despite several opportunities. It is clear, however, that Legendre immediately realized the method’s potential and that it was not merely applications to the orbits of comets he had in mind. On pages 68 and 69 he explained the method in more detail (with the word minimum making five italicized appearances, an emphasis reflecting his apparent excitement), and the memoir is followed on pages 72-80 by the elegant appendix. The example that concludes the appendix reveals Legendre’s depth of understanding of his method (notwithstanding the lack of a formal probabilistic framework). It also suggests that it was because Legendre saw these problems of the orbits of comets as similar to those he had encountered in geodesy that he was inspired to introduce his principle and was able to abstract it from the particular problem he faced. Indeed, the example he chose to discuss was not just given as an illustration, it was a serious return to what must have been the most expensive set of data in France − the 1795 measurements of the French meridian arc from Montjouy to Dunkirk” (Stigler).

The appendix is dated 6 March 1805. Legendre states the principle of his method of “distributing the errors among the equations” on pp. 72-3: “Of all the principles that can be proposed for this purpose, I think there is none more general, more exact, or easier to apply, than that which we have used in this work it consists of making the sum of the squares of the errors a minimum. By this method, a kind of equilibrium is established among the errors which, since it prevents the extremes from dominating, is appropriate for revealing the state of the system which most nearly approaches the truth.”

“The clarity of the exposition no doubt contributed to the fact that the method met with almost immediate success. Before the year 1805 was over it had appeared in another book, Puissant’s Traite de geodesie and in August of the following year it was presented to a German audience by von Lindenau in von Zach’s astronomical journal, Monatliche Correspondenz. Ten years after Legendre's 1805 appendix, the method of least squares was a standard tool in astronomy and geodesy in France, Italy, and Prussia. By 1825 the same was true in England. The rapid geographic diffusion of the method and its quick acceptance in these two fields, almost to the exclusion of other methods, is a success story that has few parallels in the history of scientific method” (ibid.).

An unintended consequence of Legendre’s publication was a protracted priority dispute with Carl Friedrich Gauss, who claimed in 1809 that he had been using the method since 1795. In Theoria motus corporum coelestium (1809, Section 186), “Gauss writes: “Our principle, which we have made use of since the year 1795, has lately been published by Legendre in the work Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes, Paris, 1806, where several other properties of this principle have been explained, which, for the sake of brevity, we here omit.”

“The Theoria motus was originally written in German and completed in the autumn of 1806. In July 1806 Gauss had for some weeks at his disposal a copy of Legendre’s book before it was sent to Olbers for reviewing. It was not until 1807 that Gauss finally found a publisher, who, however, required that the manuscript should be translated into Latin. Printing began in 1807 and the book was published in 1809. Gauss had thus ample time to elaborate on the formulation of the relation of his version of the method of least squares to that of Legendre, if he had wished so.

“Gauss’s use of the expression “our principle” naturally angered Legendre who expressed his feelings in a letter to Gauss dated May 31, 1809. The original is in the Gauss archives at Gottingen it contains the following statement:

“It was with pleasure that I saw that in the course of your meditations you had hit on the same method which I had called Méthode des moindres quarrés in my memoir on comets. The idea for this method did not call for an effort of genius however, when I observe how imperfect and full of difficulties were the methods which had been employed previously with the same end in view, especially that of M. La Place, which you are justified in attacking, I confess to you that I do attach some value to this little find. I will therefore not conceal from you, Sir, that I felt some regret to see that in citing my memoir p. 221 you say principium nostrum quojam inde ab anno 1795 usi sumus etc. There is no discovery that one cannot claim for oneself by saying that one had found the same thing some years previously but if one does not supply the evidence by citing the place where one has published it, this assertion becomes pointless and serves only to do a disservice to the true author of the discovery.”

“It therefore became important for Gauss to get his claim of having used the method of least squares since 1795 corroborated. He wrote to Olbers in 1809 asking whether Olbers still remembered their discussions in 1803 and 1804 when Gauss had explained the method to him. In 1812 he again wrote to Olbers saying “Perhaps you will find an opportunity sometime, to attest publicly that I already stated the essential ideas to you at our first personal meeting in 1803.” In an 1816 paper Olbers attested that he remembered being told the basic principle in 1803.

In 1811 Laplace brought the matter of priority before Gauss, who answered that “I have used the method of least squares since the year 1795 and I find in my papers, that the month of June 1798 is the time when I reconciled it with the principle of the calculus of probabilities.” [In his Théorie analytique des probabilités (1812)] Laplace writes that Legendre was the first to publish the method, but that we owe Gauss the justice to observe that he had the same idea several years before, that he had used it regularly, and that he had communicated it to several astronomers” (Hald, pp. 394-5).

“The heat of the dispute never reached that of the Newton − Leibniz controversy, but it reached dramatic levels nonetheless. Legendre appended a semi-anonymous attack on Gauss to the 1820 version of his Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes, and Gauss solicited reluctant testimony from friends that he had told them of the method before 1805. A recent study of this and further evidence suggests that, although Gauss may well have been telling the truth about his prior use of the method, he was unsuccessful in whatever attempts he made to communicate it before 1805. In addition, there is no indication that he saw its great general potential before he learned of Legendre’s work. Legendre’s 1805 appendix, on the other hand, although it fell far short of Gauss's work in development, was a dramatic and clear proclamation of a general method by a man who had no doubt about its importance” (Stigler).

Nouvelles méthodes was first issued in 1805, and reissued in January 1806 with a reset title-page and a 55-page supplement. In the supplement Legendre makes some improvements to the methods he had introduced for determining the orbital elements of comets. When these methods had been applied to the observations by Alexis Bouvard of a comet that appeared in 1805 (now called 2P/Encke), Legendre had found that the elements were “not sufficiently exact”. He traced the problem to a coefficient in one of his equations which, if it happened to be very small (as it was for the observations relating to Bouvard’s comet), could lead to large errors in the calculation of the orbital elements. In the supplement he introduced a modification of his method which avoided this problem. In the second part of the supplement he applied his new method to Bouvard’s observations of a second comet that had appeared in 1805. Bouvard is best known for his prediction of the existence of a planet beyond Uranus, but he died before he could complete his investigations and the discovery of Neptune was made by Adams and Le Verrier.

“Legendre (born 18 September 1752, died 10 January 1833) was a mathematician of great breadth and originality. He was three years Laplace’s junior and succeeded Laplace successively as professor of mathematics at the École Militaire and the École Normale. Legendre’s best-known mathematical work was on elliptic integrals (he pioneered this area forty years before Abel and Jacobi), number theory (he discovered the law of quadratic reciprocity), and geometry (his Éléments de géométrie was among the most successful of such texts of the nineteenth century). In addition, he wrote important memoirs on the theory of gravitational attraction. He was a member of two French commissions, one that in 1787 geodetically joined the observatories at Paris and Greenwich and one that in 1795 measured the meridian arc from Barcelona to Dunkirk, the arc upon which the length of the meter was based. It is at the nexus of these latter works in theoretical and practical astronomy and geodesy that the method of least squares appeared” (Stigler).

Hald, A History of Mathematical Statistics from 1750 to 1930, 1998 Stigler, A History of Statistics, 1986 (see pp. 12-15, 55-61 & 145-6).

4to (266 x 212 mm), pp. [2] viii, 80 and 1 engraved plate 1-55 (supplement), uncut in original pink plain wrappers, very light sporring to a few leaves, overall a very fine and untouched copy.


Preliminary Orbit Determination – 2-Body Problem

When we are dealing with two bodies, we can determine their orbital paths exactly using a certain set of orbital elements. If you want to learn more about these orbital elements you can find my post on them here and how to use them to determine an orbital path here. If we have a certain set of orbital elements, assuming Keplerian motion, we can tell where the satellite was, is, and will be for all time. But what if we don’t have those orbital elements? That’s where orbit determination comes in.

First, let’s think of some cases where we wouldn’t have direct knowledge of the orbital elements. One case would be if our rocket had a malfunction and placed our satellite in the wrong orbit. Another would be if we were trying to track another countries spy satellite. A historical need for orbit determination, and one that let many of the earliest mathematical advances, was trying to determine the orbits of the other planets in our solar system.

Orbit Determination is a Big Topic

Now that we know there are many uses, both for past and present problems, is there one correct way to do orbit determination? لا.

There are hundreds of different orbit determination schemes. They differ based on the necessary inputs, the constraints of the problem, and the solving accuracy they provide. I could spend the next year just wring posts on orbit determination. Comparing and contrasting the different methods, deriving some, leaving others as vague ideas, and still have topics to talk about. It’s a large topic and the rest of this post will only scratch the surface of three extremely basic methods.

The three methods I’m highlighting are from section 3.7 of Battin’s Introduction to Astrodynamics.

Orbits from 3 Co-planar Positions

The first of the three methods requires us to have 3 co-planar position measurements in polar coordinates. That means we have r1,θ1,r2,θ2,r3, and θ3. We return to our equation of orbit we found in a prior post which is.

By appealing to angle difference identities we can transform our equation of orbit to the following

Let’s now introduce two variables P and Q that are defined as

Which lets us linearize our equation of orbit with

Through some algebraic manipulation we get the following

We have 3 unknowns in the above equation, p,P, and Q. This is why we need 3 different measurements. 3 equations, 3 unknowns, I leave determining the values for p,P, and Q up to a suitable method of your choosing. Once you have these three determining the eccentricity and ω are trivial. Hint think of using trig identities and come out with the following.

Orbit Determination with 3 Position Vectors (Gibb’s Method)

Before we began with 3 co-planar positions. But what if we are not in the same orbital plane as the object we are observing? This method is like the last method, just with vector algebra. Here, we have 3 position vectors, r1,r2, and r3. Because we are dealing with Keplerian orbits, those 3 measurements can be assumed to be to co-planar points. First calculate alpha and beta

We can now find the semi-latus rectum, p, using the following equation

Now in order to find the eccentricity lets take the cross product of n and e

Because we also know that e is normal to n we have the following relationship

Combining these last two relations we get

This is known as Gibb’s method and is often used as an initial orbit determination method. Once you know the rough orbital elements you can narrow down your solution space and use this as your initial estimate in more powerful iterative orbit determination algorithms.

Approximate Orbit from Three Position Fixes

While the above two methods will give us the exact orbital elements if we have perfect inputs, they both fall victim to increased numerical errors durring calculation if the angles between the measurements are small. Because we’ve only been looking at 3 position vectors, we have been using geometry to determine the orbital elements. If we begin to also record the times at which we take our measurements, we can also use our understandings of the dynamics of the system to improve our estimates of the system.

Now lets say we have measurement vectors r1,r2,r3 and the time of respective measurement t1,t2,and t3. These 6 pieces of information can be related by a fifth order power series expansion.

Take it’s derivative to get

one more derivative where A is acceleration

Note that we had 6 pieces of information and we now have 6 unknown coefficients from a0 to a5.

Let’s also define a set of time intervals just to make our equations a bit tidier

Now, I’m going to give you the next step and it might not be obvious where we are going with this so take a moment to stop and think about what it looks like we’re doing. replace t in the power series successively by -τ3,0, and τ1. You should get the following 7 equations.

Note: It reminded me of taking a finite difference. Namely a central difference. We’re finding the velocity at the second point by using the time it took to go from the first point to the third point and incorporating the system dynamics.

If we solve this system of equations for v2 we get the following

Now, this looks promising. We get v2 and by combining that with r2 we can pull out the orbital elements in the classical way. Unfortunately, this solution happens to have a problem. It doesn’t work when τ1 = τ3. Try plugging those in and see what you get! This mea ns that we cant use this method with regularly spaced measurements. Additionally because we live in the real world of numerical accuracy, any measurements that are nearly regularly spaced will suffer from large computational error. I haven’t done a sensitivity analysis but I would expect this error to grow exponentially as we get closer to regularly spaced measurements.

Luckily for us, Samuel Herrick determined a work around. This article is already quire long so I will just present it here and leave the derivation to the determined reader (The skeleton of the derivation is presented on Page 135 of Battin’s Intro to Astrodynamics if you get stuck).

Again once we have v2 we can use it with r2 to determine the orbital elements using formulas we derived here.

How we get these Measurements?

Radar stations on the ground obtaining the position vectors of a satellite in orbit

Much like how this post is a very basic introduction to orbit determination, I will only briefly be covering the most common way of how we get these measurements from Earth-based observatories. We can ping the satellite with an electromagnetic wave and measure how long it takes to get there and come back. We can estimate the velocity of the signal in the earth’s atmosphere and the vacuum of space so we can figure out the range rather well. If we have two ground stations that receive the same message, we can determine the satellites relative location by looking at the difference in the ping’s time of flight. When done with a laser this is called laser range-finding and when done with radio waves it’s called radar.

Want more Gerehses…

If you want to receive the weekly Gereshes blog post directly to your email every Monday morning you can sign up for the newsletter here!

If you can’t wait for next weeks post and want some more Gereshes I suggest


شاهد الفيديو: إشارات ونظم الجزء3:Signal and System, Laplace Transform (شهر فبراير 2023).