الفلك

كيفية إيجاد نصف قطر قمر صناعي لا يعرف كتلته

كيفية إيجاد نصف قطر قمر صناعي لا يعرف كتلته

إذا كنت أعرف المحور شبه الرئيسي ، وكثافة الكوكب ، والفترة المدارية ... كيف يمكنني إيجاد نصف قطر القمر الصناعي؟ لا أستطيع التفكير في أي صيغة لاستخدامها.


كيفية إيجاد نصف قطر قمر صناعي لا يعرف كتلته:

إذا كنت أعرف

  • نصف المحور الرئيسي،
  • كثافة الكوكب ، و
  • المداري…

كيف يمكنني إيجاد نصف قطر القمر الصناعي؟ لا أستطيع التفكير في أي صيغة لاستخدامها.

لدي حدس لأنك أسأت فهم السؤال ، وأنه يسأل عن نصف قطر الكوكب ليس القمر الصناعي ، وهذا بالتأكيد ممكن. وإلا فلماذا تكون كثافة الكوكب أمرًا مفروغًا منه؟


المعادلة التي تربط المحور شبه الرئيسي ، كتلة الكوكب ، والفترة المدارية هي:

$$ T = 2 pi sqrt { frac {a ^ 3} {GM}} $$

أين $ G $ هل ثابت الجاذبية 6.674E-11 m ^ 3 s ^ -2 kg ^ -1.

تتحرك الأشياء من حولنا

$$ frac {4 pi ^ 2 a ^ 3} {T ^ 2G} = M $$

الكثافة هي الكتلة لكل حجم ، أو:

$$ rho = frac {M} { frac {4} {3} pi R ^ 3} = frac {3M} {4 pi R ^ 3} $$

نقل ذلك نحصل عليه

$$ R = left ( frac {3M} {4 rho pi} right) ^ {1/3} $$

ضع النتيجة السابقة لـ مليون دولار، نحن نحصل

$$ R = a left ( frac {3 pi} { rho T ^ 2G} right) ^ {1/3} $$


بالنسبة لمتوسط ​​كثافة الأرض ، تقول ويكيبيديا 5514 كجم / ^ 3 ، بالنسبة لنصف قطرها ، جرب 6،371،000. أمتار. بالنسبة لمحطة الفضاء الدولية على ارتفاع 400 كم (400000 متر) فوق الأرض ، استخدم 92.5 دقيقة (5550 ثانية). يجب أن يعمل كل شيء بشكل جيد!

السبب في أن هذا يعمل مع متوسط ​​الكثافة ، على الرغم من أن كثافة الأرض أعلى في اللب من السطح هو تطبيق نظرية غلاف نيوتن.


كما توحي التعليقات ، بشكل عام لا يمكنك. طالما أن كتلة القمر الصناعي هي جزء صغير من كتلة الكوكب (أو كوكب مقابل كتلة الشمس) ، فإن الفرق بين المدار الدائري والمدار الإهليلجي حول مركز كتلة النظام صغير جدًا بحيث لا يسمح بإجراء حساب دقيق.

لكن إذا كنت تعرف كتلة الكوكب (أو الشمس) ، فإن معرفة شكل المدار الإهليلجي سيخبرك بكتلة القمر الصناعي ، وبما أنك تذكر أنك تعرف الكثافة - أفترض أن ذلك كان خطأ مطبعي في سؤالك الأصلي ، فإن إيجاد نصف القطر (للكرة الكاملة) أمر تافه.


كيفية إيجاد نصف قطر قمر صناعي لا يعرف كتلته - علم الفلك

مرحبًا ، أنا عالم أحياء أقوم بتدريس علوم الأرض ، ولم يكن لدي سوى دورتين في علم الفلك في الكلية. على أي حال ، سألني أحد الطلاب ، "كيف نعرف كتلة الأرض وكتلة القمر؟" هل يمكن أن تزودوني بشرح معقول لطالب في الثانوية؟ شكرًا لك ، سأذكر موقع الويب الخاص بك كمصدر لمزيد من الأسئلة.

الأرض هي المشكلة الأسهل للاثنين. تذكر أنه من قانون الجاذبية لنيوتن ،

حيث Fجراف هي قوة الجاذبية ، و G هو ثابت الجاذبية العام ، و M و m هي كتل الجسمين اللذين يجذبان بعضهما البعض ، و R هي المسافة بين مركزي كتلتهما.

الآن من قانون نيوتن الثاني ،

حيث ا هي التسارع ، و هي القوة ، و م هي كتلة الجسم المتسارع.

بما أننا نعرف G ، كل ما علينا فعله هو إسقاط جسم ما وقياس تسارعه a. ثم نعرف F / m ، وهو نفس Fجراف/ م لأن جسمنا يتحرك تحت تأثير الجاذبية وحدها.

R ، نصف قطر الأرض (مركز كتلة الكرة ، مثل الأرض ، هو مجرد مركزها الهندسي ، لذا فإن R هي أيضًا المسافة بين مركز كتلة الأجسام) معروفة بشكل معقول منذ إراتوستينس القيرواني أجرى تجاربه مع ضوء الشمس الذي يسقط في البئر في Syene ولكن ليس في الإسكندرية في الانقلاب الصيفي. (أشعة الشمس متوازية ، لذلك إذا كنت تعرف المسافة بين أسوان والإسكندرية ، وكذلك الزاوية التي تسقط بها أشعة الشمس في الإسكندرية في نفس التاريخ ، يمكنك معرفة الزاوية بينهما ومن ثم نصف قطر الأرض . اسمحوا لي أن أعرف ما إذا كنت بحاجة إلى مزيد من التوضيح لهذا ويمكنني الخوض في مزيد من التفاصيل - ولكن حاول رسم صورة بدائرة والأشعة المتوازية ومعرفة ما إذا كان يمكنك معرفة الهندسة.)

هناك طريقة أخرى لقياس R وهي التحرك من الشمال إلى الجنوب والحصول على خطوط العرض الخاصة بك عن طريق قياس ارتفاع نجم الشمال فوق الأفق. إذا كنت تعرف المسافة التي قطعتها بالأميال عبر سطح الأرض ، فأنت تعرف العلاقة بين المسافة الزاوية والمسافة الخطية ، وسيمنحك قسمة الأميال على الزاوية (تقاس بالراديان) نصف قطر الأرض بالأميال.

بمجرد أن تعرف Fجراف/ m و G و R ، يمكنك إعادة ترتيب المعادلة (1):

حيث M هي كتلة الأرض ، وعوض بالأرقام.

إذا لم تكن تعرف G مسبقًا ، فستحتاج إلى تحديده بشكل تجريبي. إن أبسط طريقة للقيام بذلك هي من خلال تجربة Cavendish ، حيث يتم استخدام ميزان الالتواء لقياس التجاذب بين أزواج أوزان الرصاص. إنه يعمل بالفعل أيضًا!

القمر مشكلة أصعب بكثير. تكمن المشكلة في أنه نظرًا لأنه في كل من المعادلتين (1) و (2) م يظهران في نفس العلاقة مع F ، فلا يمكن استخدام هاتين المعادلتين فقط لحل m (الجسم يتم تسريعه. جربه! لا تعتمد على كتلة الجسم المتسارع.). يمكنك تقديره بشكل تقريبي بافتراض أن كثافة القمر تعادل كثافة الأرض ثم تصغير كتلة الأرض إلى حجم القمر:

لكن هذا سيمنحك كتلة عالية جدًا ، حيث اتضح أن القمر أقل كثافة من الأرض! بمجرد أن أرسلنا مركبة فضائية لتدور حول القمر ، يمكننا قياس قوة جاذبية القمر عليها والحصول على قياس دقيق حقًا لكتلة القمر بالطريقة التي قسنا بها كتلة الأرض بالضبط.

أعتقد أن الكتلة الحقيقية للقمر كانت معروفة قبل ذلك الحين بسبب القياسات الفلكية الدقيقة (الأرض والقمر يدوران حقًا حول مركز كتلة النظام المشترك ، الموجود داخل الأرض ولكن ليس في مركزها ، ومدى البعد يعتمد على كتلة القمر) ولكن هذا سيكون خارج نطاق تفسير المدرسة الثانوية.

تم آخر تحديث لهذه الصفحة في 18 يوليو 2015.

عن المؤلف

ديف كورنريتش

كان ديف مؤسس Ask an Astronomer. حصل على درجة الدكتوراه من جامعة كورنيل عام 2001 وهو الآن أستاذ مساعد في قسم الفيزياء والعلوم الفيزيائية بجامعة ولاية هومبولت في كاليفورنيا. هناك يدير نسخته الخاصة من اسأل الفلكي. كما أنه يساعدنا في حل مسألة الكوسمولوجيا الغريبة.


علم الفلك غير المرئي

تقول الأسطورة أنه عندما وصلت كلمة إلى كوبنهاغن عن اكتشاف النيوترون في عام 1932 ، أقام نيلز بور حفلة كبيرة في منزله. كان من بين ضيوفه شاب روسي يدعى ليف لانداو ، قيل إنه لاحظ بهدوء أن & # 8220stars يمكن صنعه باستخدام هذا الجسيم الجديد & # 8221. يحب علماء الفلك الاعتقاد بأن هذا قيل بجدية & # 8211 وليس تحت تأثير الضيافة الدنماركية & # 8211 لأننا نعلم الآن أن النجوم النيوترونية موجودة بالفعل.

تم وصف خصائص النجوم النيوترونية لأول مرة بعد عامين من قبل والتر بادي وفريتز زويكي في معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا ، ولكن كان على علماء الفلك الانتظار حتى عام 1968 لاكتشاف واحدة بالفعل. كان ذلك عندما صادفت جوسلين بيل ، طالبة الدكتوراه آنذاك ، ومشرفها أنتوني هيويش (الشخص الوحيد الذي حصل على نصيب من جائزة نوبل عام 1974 للاكتشاف) سلسلة من الإشارات الراديوية الباهتة النبضية أثناء دراسة النجوم الزائفة في جامعة كامبريدج. كانت فترة هذه الإشارات دقيقة للغاية لدرجة أنه كان يُعتقد في البداية أنها علامات على وجود ذكاء خارج كوكب الأرض.

بعد اكتشاف مصادر أخرى ، فسر فرانكو باتشيني & # 8211 الذي أصبح فيما بعد رئيسًا للاتحاد الفلكي الدولي & # 8211 وتومي جولد الإشارات على أنها تأثير & # 8220lighthouse & # 8221. على الرغم من أن باتشيني وجولد كانا يعملان في جامعة كورنيل في ذلك الوقت ، إلا أنهما استنتجا بشكل مستقل أن حزم الراديو تنبعث من نجم نيوتروني دوار ومغناطيس للغاية.

هذا التفسير & # 8211 الذي يتم فيه إنتاج موجات الراديو بواسطة إشعاع السنكروترون من الجسيمات النسبية التي يتم تسريعها بواسطة المجال المغناطيسي للنجم & # 8217s & # 8211 تم التحقق منه بسرعة ، ولكن ليس قريبًا بما يكفي لمنع استدعاء النجوم النيوترونية الممغنطة الدوارة & # 8220 نابض & # 8221. هذا المصطلح & # 8211 هو تقلص & # 8220 نجم نابض & # 8221 & # 8211 صاغه صحفي من التلغراف اليومي الذي كان حاضرًا خلال المناقشات الأولى حول نبضات الراديو الغامضة. لو انتظر أسبوعًا أو نحو ذلك حتى يظهر التفسير الصحيح ، فماذا نسمي النجوم النابضة الآن & # 8211 دوارات؟ نيوترارات؟

النجوم المدمجة

النجوم النيوترونية هي أجسام مضغوطة تجمع كتلة مماثلة لكتلة الشمس في حجم يبلغ عرضه حوالي 20 كم (الشكل 1). يُعتقد أنها نشأت عن انفجارات سوبر نوفا نتيجة لانهيار الجاذبية ، ويمكن القول إنها تبتعد عن الثقب الأسود في تطور نجم ضخم. يتم تحديد بنية النجم النيوتروني من خلال معادلة الحالة & # 8211 التي تربط ضغطه بكثافته & # 8211 وتقييد معادلة الحالة هذه هدف رئيسي في علم فلك النجوم النيوترونية.

كثافة النجم النيوتروني قريبة من كثافة النواة ، ولكن اعتمادًا على معادلته الدقيقة للحالة ، يمكن أن يختلف تكوين النجم النيوتروني من النيوترونات والبروتونات إلى الهايبرونات & # 8211 الجسيمات التي تحتوي على كواركات غريبة & # 8211 وربما حتى الكواركات الحرة. النجم النيوتروني الذي يزن أكثر من 1.6 كتلة شمسية ، على سبيل المثال ، سيتطلب معادلة حالة تتضمن & # 8220exotic & # 8221 مسألة. ومع ذلك ، فإن معظم النجوم النيوترونية لها كتلة تبلغ حوالي 1.35 كتلة شمسية ، وإن كان ذلك مع استثناءات مثيرة للاهتمام. حتى الآن لم يظهر أي دليل على & # 8220strange & # 8221 stars & # 8211 من النجوم النيوترونية التي تحتوي على كواركات غريبة & # 8211 ولكن البحث جاري ، ومعادلة الحالة هي أفضل أداة لدينا في البحث.

يُعد المجال المغناطيسي للنجم النيوتروني ، الذي تم تعزيزه إلى حوالي 10 8 T بسبب انهيار الجاذبية ، عاملاً مهمًا أيضًا في تحديد معادلة الحالة الخاصة به. علاوة على ذلك ، فإن الحفاظ على الزخم الزاوي يعني أن النجوم النيوترونية ومجالاتها المغناطيسية تدور بسرعة ، مع فترات تتراوح من ميلي ثانية إلى ثانية. هذا يعني أن النجوم النيوترونية هي بواعث إشعاع هائلة ومسرعات للجسيمات.

في عام 1970 ، عثر ريكاردو جياكوني وزملاؤه في American Science and Engineering على فئة جديدة من مصادر الأشعة السينية السماوية التي كانت ساطعة ومتغيرة مع دورية سريعة. كان جياكوني ، الذي شارك في جائزة نوبل للفيزياء عام 2002 ، في طريقه لإظهار أن النجوم النيوترونية يمكن أن ترتبط في أنظمة ثنائية جنبًا إلى جنب مع النجوم العادية. ومع ذلك ، فإن الكثافة القصوى للنجوم النيوترونية تجعل مداراتها أكثر إحكامًا ، وفتراتها أقصر بكثير من تلك الموجودة في الثنائيات العادية التي تلتقي بالنجوم.

علاوة على ذلك ، فإن جاذبية النجم النيوتروني قوية جدًا لدرجة أنه يسحب بالفعل بعض الطبقات الخارجية للنجم الطبيعي على نفسه. تتبع عملية التراكم قوانين الميكانيكا السماوية والجاذبية ، ويمكن للمادة المتساقطة أن تنظم نفسها في قرص يدور حول النجم النيوتروني. يمكن أن تصل درجة حرارة هذا القرص إلى 10 6 كلفن بسبب اللزوجة الداخلية والاحتكاك ، مما يجعله مرئيًا في منطقة الأشعة السينية. يمكن أيضًا أن يحجب القرص ويؤدي إلى اختلافات مذهلة في تدفق الأشعة السينية النجمية # 8217s ، مما يوفر خطافًا ممتازًا لفهم النظام الثنائي. لإعادة صياغة ما كان من المفترض أن قاله جون ويلر بعد اكتشاف النجوم النيوترونية ، & # 8220 الذي يشتبه في أنها ستأتي مزودة بجرس ومقبض؟ & # 8221.

تم جمع كمية هائلة من البيانات بأطوال موجية مختلفة من الأنظمة الثنائية في العقود الثلاثة التي تلت اكتشافها ، ولا تزال واحدة من أهم مصادر ظاهرة النجوم النيوترونية. على وجه الخصوص ، يمكن لعلماء الفلك حساب كتلة النجم النيوتروني من خلال دراسة تفاعل الجاذبية للنظام الثنائي.

في عام 1974 اكتشف راسل هولس وجو تايلور ، ثم في جامعة ماساتشوستس ، أول نظام ثنائي يحتوي على نجمين نيوترونيين. قدم السلوك الديناميكي لهذا النظام المتطرف أول دليل غير مباشر على موجات الجاذبية ، حيث تقاسم هولس وتايلور جائزة نوبل في الفيزياء لعام 1993.

تم اليوم اكتشاف حوالي 10 ثنائيات نجمية نيوترونية ونجم نيوتروني ، وقد جمع علم الفلك الراديوي قاعدة بيانات مذهلة لأكثر من 1500 نجم نابض. في الواقع ، يمكن أيضًا استخدام علم الفلك الراديوي لدراسة معادلة حالة النجوم النيوترونية. منذ عام 1969 ، وجد علماء الفلك 25 نجمًا نابضًا تُظهر & # 8220 glitches & # 8221 في فترات دورانها ، والتي عادةً ما تكون دقيقة للغاية. يُعتقد أن هذه الثغرات ناتجة عن انتقال الزخم الزاوي من النواة فائقة السوائل للنجم النيوتروني إلى قشرته الصلبة.

لاحظت مجموعة Andrew Lyne & # 8217s في جامعة مانشستر مؤخرًا سلوكًا متقطعًا في النجم النابض الراديوي PSRB1828-11. قد يكون هذا هو المثال الأول لما سبق بحرية ، أو & # 8220 wobbling & # 8221 ، نجم نيوتروني & # 8211 شيء مستبعد من قبل العديد من معادلات الحالة (انظر عالم الفيزياء أكتوبر 2000 ص 27 - 28). في هذه الأثناء ، قام كيرت كاتلر من معهد ماكس بلانك لفيزياء الجاذبية في ألمانيا وزملاؤه في جامعة كالتيك وجامعة ولاية مونتانا بتحليل تأثير سلوك PSRB1828-11 على صلابة قشرته. وخلصوا إلى أن قشرة النجم تتعرض لضغط كبير ، مما له تداعيات بعيدة المدى. ترقبوا المزيد من عمليات البث من محطة الراديو الجديدة هذه.

نافذة عالية الطاقة

لا تحتوي النجوم النيوترونية على أي وقود نووي لذا فهي لا تتألق مثل النجوم الأخرى. لكن هذا لا يعني أننا لا نستطيع رؤيتهم. في الواقع ، النجوم النيوترونية مصممة خصيصًا لعلم الفلك متعدد الأطوال الموجية ، ودرجات الحرارة المرتفعة للغاية تجعلها مصادر مثيرة للاهتمام بشكل خاص لفيزياء فلكية عالية الطاقة. تمامًا كما لا يشك أحد في أن الصينيين القدماء اخترعوا البارود لإطلاق النار على الدراج ، أعتقد اعتقادًا راسخًا أن علم الفلك بالأشعة السينية وأشعة جاما قد اخترع لدراسة النجوم النيوترونية.

بعد أن قام جياكوني وزملاؤه بأول قياسات ساتلية للأنظمة الثنائية ، حدث تصعيد في بعثات المراقبة. كان مرصد أينشتاين مهمًا بشكل خاص ، وبعثة روسات الألمانية وعدد من البعثات اليابانية الرائعة. في الآونة الأخيرة ، تم إطلاق اثنين من مراصد أشعة جاما عالية الطاقة & # 8211 Italy & # 8217s BeppoSAX و NASA & # 8217s Rossi XTE. تم تسمية هذه البعثات تكريما لاثنين من الأصدقاء مدى الحياة ، Beppo Occhialini و Bruno Rossi.

جاءت الأخبار الساخنة في علم فلك النجوم النيوترونية ، بالمعنى الحرفي للغاية ، من اثنين من مراصد الأشعة السينية العظيمة XMM-Newton و Chandra (الشكل 2). حتى وقت قريب ، اعتقد العديد من علماء الفلك أن النجوم النيوترونية تحتوي على غلاف جوي معقد من شأنه تعديل إشعاعها السطحي الذي يشبه الجسم الأسود. ومع ذلك ، فقد تغير هذا الرأي الآن بفضل قياسات الأشعة السينية المدهشة لسطح النجوم النيوترونية المعزولة ، والتي يمكن أن تصل درجات الحرارة إلى بضعة ملايين من الدرجات.

يبدو أن النجوم النيوترونية المعزولة ، على عكس تلك الموجودة في أزواج ثنائية ، لها أطياف جسم أسود عديمة الملامح لا تحتوي على أي سمات منبهة للغلاف الجوي & # 8211 على الأقل ليس لعشرات الحالات التي لدينا بيانات كافية عنها. الاستثناء الوحيد الملحوظ هو 1E1207.4-5209. تُظهر البيانات الحديثة من XMM-Newton أن طيف الامتصاص لهذا النجم النيوتروني يحتوي على سلسلة من الميزات المثيرة للاهتمام ، والتي تحدث في طاقات تعد مضاعفات صحيحة تبلغ 0.7 كيلو فولت (انظر عالم الفيزياء يوليو 2003 ص 3). بالنسبة لعلماء فلك النجوم النيوترونية ، يمكن التعرف على هذا على الفور على أنه ناتج عن امتصاص الرنين السيكلوتروني & # 8211 ، وهي عملية تتأرجح فيها الإلكترونات أو البروتونات على سطح النجم النيوتروني بسبب المجال المغناطيسي للنجم ، مما يتسبب في امتصاصهم للفوتونات عند نقطة. طاقة خاصة.

النتيجة المباشرة لذلك هي أن المجال المغناطيسي لنجم نيوتروني معزول يمكن قياسه مباشرة لأول مرة ، وليس فقط تقييمه وفقًا لنماذج ثنائي القطب الدوار. علاوة على ذلك ، إذا كانت الجسيمات المسؤولة هي الإلكترونات & # 8211 كما يعتقد معظم علماء الفلك & # 8211 ، فإن المجال المغناطيسي المقاس لـ 1E1207.4-5209 يعمل ليكون 8 × 10 6 T. على الرغم من ضخامة المعايير الأرضية ، هذا أقل بكثير من متوقع ، ولا يزال التناقض غير مفهوم. قد يتضمن ذلك صقلًا دقيقًا للنظرية التي تصف توليد واضمحلال المجالات المغناطيسية في النجوم النيوترونية المعزولة. ومع ذلك ، قد يكون أيضًا بسبب حزام الجسيمات المحاصر حول النجم & # 8211 يشبه إلى حد كبير أحزمة Van Allen المحيطة بالأرض & # 8211 أو حتى قرص من الحطام الذي يدور حول النجم.

نتائج الغلاف الجوي

أي حطام يحيط بالنجم النيوتروني هو خبر سار لعلماء الفلك. في الواقع ، أول كواكب خارج المجموعة الشمسية تم اكتشافها كانت في مدار حول النجم النابض PSR1257 + 12 (انظر عالم الفيزياء يوليو 1997 pp31-36). يمكن للغلاف الجوي الذي يتشكل من خلال تراكم المواد الغازية أن يعزز بل ويشوه ظاهرة ارتفاع درجة الحرارة التي تحدث بالقرب من نجم نيوتروني. لذلك فهي أفضل أداة تشخيصية لدينا لفهم فيزياء النجوم النيوترونية.

ومن الأمثلة على ذلك القياس الأخير للغلاف الجوي لـ EXO0748-676 & # 8211 وهو نجم نيوتروني مع نجم مرافق منخفض الكتلة & # 8211 والذي ينبعث منه دفعات متكررة من الأشعة السينية المكثفة. قاس جان كوتام من مركز جودارد لرحلات الفضاء التابع لناسا ورقم 8217 ، وفريتز بيريلز من جامعة كولومبيا في نيويورك وماريانو مينديز في معهد SRON لأبحاث الفضاء في هولندا ، انزياح الجاذبية الأحمر لخطوط الأشعة السينية المنبعثة بالقرب من سطح هذا النجم النيوتروني لأول مرة. ومن هذا المنطلق كانوا قادرين على تقدير نسبة كتلة النجم إلى نصف قطره ، وبالتالي تقييد معادلة الحالة الخاصة به (انظر كوتام) وآخرون. في مزيد من القراءة).

حقيقة أن هذا النظام الثنائي للأشعة السينية منخفض الكتلة يخضع لنشاط هام & # 8220bursting & # 8221 يرجع على الأرجح إلى تراكمه المتقطع. تمت ملاحظة أكثر من 20 انفجارًا بواسطة XMM-Newton في أوائل عام 2000 ، وكانت جودة الأطياف جيدة جدًا بحيث يمكن رؤية العديد من خطوط الامتصاص الذري للحديد والأكسجين. ومع ذلك ، لتحديدها ، كان على كوتام وزملائه تحويل الخطوط بشكل منهجي إلى أطوال موجية أطول من خلال انزياح أحمر ض = 0.35. هذه بالضبط هي القيمة المتوقعة لفوتون يحاول التغلب على مجال الجاذبية لنجم نيوتروني & # 8220 قياسي & # 8221. تمكن الباحثون من تقييد كتلة النجم النيوتروني لتكون بين 1.4 و 1.8 كتلة شمسية وأن يكون نصف قطره 9-12 كيلومترًا ، وبالتالي استبعاد معادلات الحالة بناءً على حالات غريبة للمادة ، مثل الكواركات الغريبة.

وفي الوقت نفسه ، استخدم كريج هينك وزملاؤه في مركز هارفارد سميثسونيان للفيزياء الفلكية القمر الصناعي شاندرا للأشعة السينية لدراسة النجوم النيوترونية في نظامين ثنائيين في الكتلة الكروية 47 Tucanae. تخضع هذه الأجسام لتراكم دوري ونتيجة لذلك من المحتمل أن يكون لها جو هيدروجين قد يحتوي حتى على معادن. والأكثر إثارة للاهتمام ، مع ذلك ، أن أحد هذه النجوم النيوترونية يبدو أن كتلته أكبر بنحو 1.8 مرة من كتلة الشمس ونصف قطر يتراوح بين 9 و 16 كيلومترًا.

إذا تم تأكيد هذه الملاحظة ، فستضع قيدًا شديدًا على معادلة حالة النجم النيوتروني. على وجه الخصوص ، ستستبعد معادلة الحالة & # 8220soft & # 8221 الخاصة بقلب النجم ، والتي تتضمن مكثفات بوز-آينشتاين من الكاونات والهايبرونات والبيونات. تتوافق النتيجة أيضًا مع نطاق الكتلة الذي وجده كوتام وزملاؤه باستخدام بيانات انزياح الجاذبية إلى الأحمر ، والتي تدعم صورة غير غريبة لتكوين النجوم النيوترونية.

نجم غامض

جاء أحدث دليل على قوة مراصد الأشعة السينية الحديثة من قياسات للنجم النيوتروني Geminga ، الموجود في كوكبة الجوزاء. تم اكتشاف Geminga في عام 1973 بواسطة مرصد أشعة جاما التابع لناسا SAS-2 ، لكنه ظل لغزًا على مدار العشرين عامًا التالية. في الواقع ، اسمها مشتق من لعبة الكلمات في لهجة ميلانو التي تعني & # 8220Gh & # 8217 & # 233 minga & # 8221 & # 8220it & # 8221. كشف انبعاث الأشعة السينية لـ Geminga لاحقًا عن نجم نيوتروني معزول ينبض بفترة 237 مللي ثانية ، وأظهرت الملاحظات الأرضية في المنطقة البصرية أن هذا النجم كان يسافر بسرعة نسبيًا & # 8211 مؤشر قوي على طبيعته المحلية. كشف تلسكوب هابل الفضائي أن Geminga يبعد 522 سنة ضوئية ، وقدم أيضًا مقياسًا مطلقًا لمعانه.

قبل بضعة أشهر ، سجلت كاميرا التصوير الفوتونية الأوروبية على متن XMM-Newton صورة مذهلة لـ Geminga (الشكل 3). أظهر هذا أن النجم النيوتروني يتبعه انبعاث أشعة سينية منتشر على شكل ذيلتين & # 8220tails & # 8221 التي تتماشى بدقة مع حركة الجسم & # 8217s في السماء. أفضل طريقة لرواية هذه الحكاية المكونة من ذيلتين هي الأخذ في الاعتبار أن Geminga ينتقل عبر الوسط النجمي بسرعة تبلغ حوالي 20 ضعف السرعة المحلية للصوت. وبالتالي فإن النجم محاط بصدمة قوية & # 8220bow & # 8221 ، والتي تضغط على مجالها المغناطيسي وتحبس الإلكترونات عالية الطاقة التي تنبعث منها أثناء دورانها. من المثير للدهشة أن الجمع بين هذه الإلكترونات ذات الطاقة الفائقة 10 14 eV والمجال 10 -5 G مناسب تمامًا لإنتاج فوتونات keV التي يتحسس XMM-Newton تجاهها (انظر Caraveo وآخرون. في مزيد من القراءة).

الآلية الكامنة وراء انبعاث هذه الفوتونات هي الإشعاع المغنطيسي السنكروتروني ، حيث يصدر الإلكترون فوتونات عندما يدور في مجال مغناطيسي. في الواقع ، تبين أن نصف قطر دوران Larmour هذا هو بالضبط نفس سمك ذيول Geminga & # 8217s & # 8211 حوالي 6 × 10 14 مترًا. والوقت الذي تستغرقه الإلكترونات لتفقد معظم طاقتها عن طريق إشعاع السنكروترون في المجال المغناطيسي المضغوط يُحسب بحوالي 1000 عام ، وهو بالضبط الوقت الذي يستغرقه النجم في السفر لمسافة مساوية لطول ذيله .

مستقبل قاتم

لذلك من المحتمل أن ذيول الأشعة السينية لجيمينجا قد اشتعلت في وقت قريب من معركة هاستينغز. ومع ذلك ، سيكون من المثير للدفع الادعاء بأن نسيج بايو أخطأ في فهم جيمينجا لمذنب هالي & # 8217! يجب أن يكون علماء الفلك راضين عن تحقيقهم لأول مرة مع Geminga. تسمح لنا ذيولها بسبر فيزياء التفاعل بين نجم نيوتروني معزول والوسط النجمي. كما أنها توفر دليلًا قويًا على تسريع الجسيمات فائقة الطاقة في مجال مغناطيسي محلي ، والذي يوفر بدوره قياسًا مباشرًا للمجال.

لا نعرف من أين ستأتي جائزة نوبل التالية في علم فلك النجوم النيوترونية ، لكن المستقبل القريب لهذا المجال يبدو واعدًا بشكل خاص. يكاد يكون من المؤكد أن كل من Chandra و XMM-Newton سيجدان المزيد من السمات الطيفية الواضحة وربما الصدمات القوسية في النجوم النيوترونية الأخرى. يتم رفع التوقعات الكبيرة أيضًا من قبل المختبر الدولي لعلم الفلك بأشعة غاما (INTEGRAL) ، الذي أطلقته وكالة الفضاء الأوروبية في أكتوبر 2002. وفي الوقت نفسه ، يستعد أكبر مرفق فلكي في العالم & # 8211 ESO & # 8217s كبير جدًا & # 8211 جيل ثان من الأدوات التي تم تصميمها لأشياء أكثر خفوتًا وخفتًا.

النجوم النيوترونية ، للأسف ، تقع ضمن هذه الفئة. قد تكون Geminga واحدة من أفضل النجوم النيوترونية المعزولة التي وجدناها مفهومة ، ولكن لها نفس التدفق الضوئي مثل شمعة على القمر ، مما يعني أنها ستختبر هذه التلسكوبات الجديدة إلى أقصى حد.


الآثار الجماعية على الغلاف الجوي للكواكب الخارجية

يتمثل أحد أهداف ساتل مسح الكواكب الخارجية العابرة (TESS) في تحديد الكواكب الخارجية التي يمكن تمييز غلافها الجوي بتلسكوبات أخرى. يستلزم جزء من هذه العملية قياس كتل الكواكب إلى درجة معينة من الدقة. إذن ، إلى أي مدى نحتاج إلى معرفة كتلة كوكب خارج المجموعة الشمسية جيدًا لفهم غلافه الجوي؟

استخدام أطياف الإرسال

تتمثل إحدى طرق دراسة الغلاف الجوي لكوكب خارج المجموعة الشمسية في مراقبة الضوء من نجمه المضيف الذي يمر عبر الغلاف الجوي للكوكب. يمكن أن تخبرنا مقارنة الطيف الناتج - المسمى طيف الإرسال - مع طيف النجم المضيف وحده بما هو موجود في الغلاف الجوي للكوكب.

تلعب كتلة الكوكب دورًا مهمًا في مدى امتداد غلافه الجوي. وقد أدى هذا إلى إجراء دراسات حول ما إذا كان يمكن استنتاج كتلة كوكب ما من طيف الإرسال الخاص به وحده. في بعض الحالات ، يعمل هذا النهج. ولكن في حالات أخرى ، يمكن أن تبدو أطياف الإرسال لكواكب مختلفة جدًا متشابهة.

دقة قياسات كتلة الكواكب الخارجية مقابل كتلتها المحتملة. تم تسليط الضوء على الكواكب السبعة المستخدمة في هذه الدراسة. [مقتبس من Batalha et al. 2019]

سبعة كواكب خاصة

من أجل دراستهم ، اختار باتالها والمتعاونون سبعة كواكب معروفة تمتد عبر سلسلة من الكواكب الخارجية التي لاحظناها. تضمنت عينتهم ثلاثة كواكب كواكب ساخنة (WASP-17b و HAT-P-1b و WASP-12b) وثلاثة كواكب شبيهة بنبتون (HAT-P-26 b و GJ 436b و GJ 1214b) وكوكب واحد يشبه الأرض (TRAPPIST) -1 هـ).

لمحاكاة أطياف الإرسال ، بدأ المؤلفون بنماذج تتوافق مع التحليل الطيفي لهابل للكواكب التي اختاروها. ثم استخدموا هذه النماذج لمحاكاة أطياف JWST المماثلة.

بصرف النظر عن الكتلة ، اختلفت عينات الكواكب أيضًا في التركيب. تختلف النجوم المضيفة أيضًا ، مما يعني أنه في الحياة الواقعية ، سيتعين على JWST اعتماد استراتيجيات مراقبة مختلفة للحصول على أطياف إرسال عالية الجودة.

الدقة التي يتم بها استعادة الخصائص الجوية المختلفة من أطياف الإرسال المحاكاة. من أعلى اليسار ، في اتجاه عقارب الساعة: درجة الحرارة ، والمعدنية (وفرة العناصر غير الهيدروجين أو الهيليوم) ، ونصف القطر ، والكتلة. تتوافق المناطق المظللة مع الكتلة المعروفة والمناطق الخالية تتوافق مع الكتلة غير المعروفة. تشير ألوان المنحنيات إلى كواكب مختلفة. اضغط للتكبير. [باتالها وآخرون. 2019]

مسألة الحذر

لاختبار الدور الذي تلعبه الكتلة في فائدة أطياف الإرسال ، حاول المؤلفون قياس خصائص الغلاف الجوي من أطيافهم النموذجية. لقد جربوا دقة مختلفة للكتلة (إلى أي مدى يمكن أن تكون الكتلة المفترضة عن الكتلة الحقيقية) بالإضافة إلى عدم معرفة كتلة الكوكب على الإطلاق.

وجد المؤلفون أن أطياف الإرسال وحدها لا يمكنها تحديد خصائص الكوكب والغلاف الجوي # 8217s بشكل موثوق. تطلبت كواكب المشترى الساخنة قيود الكتلة الأكثر مرونة لاستنتاج خصائص الغلاف الجوي ، على الرغم من أن الغطاء السحابي - كما في حالة WASP-12b - يمكن أن يجعل ذلك غير صحيح. بالنسبة لنبتون الأخرى والكوكب الشبيه بالأرض ، كان لابد من معرفة الكتلة بدقة لا تقل عن 50٪ للحصول على خصائص دقيقة للغلاف الجوي.

كان الموضوع المتكرر هو أن قياس الكتلة ضروري لتمييز كوكب واحد عن الكواكب الأخرى ذات أطياف الإرسال المماثلة. تحقيقا لهذه الغاية ، يوصي المؤلفون بأن أي كواكب يتم اختيارها لتوصيف الغلاف الجوي لها كتلة معروفة بدقة لا تقل عن 50٪.

يتمثل أحد أهداف TESS في قياس كتلة خمسين كوكبًا بحجم الأرض ، وقد وضع باتالها والمتعاونون معه معيارًا لهذه القياسات. يعد هذا النوع من العمل الأساسي أمرًا بالغ الأهمية لعلم الكواكب الخارجية ويجب أن يساهم في نتائج رائعة ليس بعيدًا جدًا من الآن!


محتويات

تحرير اتجاه العبور إلى الأرض

لن تصطف كواكب معظم النجوم وتوجهها بحيث تنكسر فوق مركز النجم وتعطي المشاهد على الأرض عبورًا مثاليًا. لهذا السبب ، عندما نكون قادرين في كثير من الأحيان فقط على استقراء الحد الأدنى من الكتلة عند مشاهدة تذبذب النجم لأننا لا نعرف الميل ، وبالتالي نكون قادرين فقط على حساب الجزء الذي يسحب النجم على مستوى الكرة السماوية.

بالنسبة للأجسام التي تدور في المدار في أنظمة الكواكب خارج المجموعة الشمسية ، فإن الميل بمقدار 0 درجة أو 180 درجة يتوافق مع مدار وجهاً لوجه (لا يمكن ملاحظته بالسرعة الشعاعية) ، في حين أن الميل 90 درجة يتوافق مع مدار ذي حافة (حيث الكتلة الحقيقية تساوي الحد الأدنى من الكتلة). [4]

تنتج الكواكب ذات المدارات التي تميل بشدة إلى خط الرؤية من الأرض تذبذبات مرئية أصغر ، وبالتالي يصعب اكتشافها. تتمثل إحدى مزايا طريقة السرعة الشعاعية في أنه يمكن قياس الانحراف المركزي لمدار الكوكب بشكل مباشر. أحد العيوب الرئيسية لطريقة السرعة الشعاعية هو أنها تستطيع فقط تقدير الحد الأدنى من كتلة الكوكب (M صحيح ⋅ sin ⁡ i > cdot < sin i >>). هذا يسمي الخطيئة أنا الانحطاط. التوزيع الخلفي لزاوية الميل أنا يعتمد على التوزيع الكتلي الحقيقي للكواكب. [5]

تحرير طريقة السرعة الشعاعية

ومع ذلك ، عندما يكون هناك كواكب متعددة في النظام تدور بالقرب نسبيًا من بعضها البعض ولها كتلة كافية ، فإن تحليل الاستقرار المداري يسمح للمرء بتقييد الكتلة القصوى لهذه الكواكب. يمكن استخدام طريقة السرعة الشعاعية لتأكيد النتائج التي توصلت إليها طريقة العبور. عندما يتم استخدام كلتا الطريقتين معًا ، فإن الكوكب الكتلة الحقيقية يمكن تقديرها.

على الرغم من أن السرعة الشعاعية للنجم تعطي فقط الحد الأدنى من كتلة الكوكب ، إذا كان من الممكن تمييز الخطوط الطيفية للكوكب عن الخطوط الطيفية للنجم ، فيمكن العثور على السرعة الشعاعية للكوكب نفسه ، وهذا يعطي ميل مدار الكوكب. يتيح ذلك قياس الكتلة الفعلية للكوكب. يستبعد هذا أيضًا الإيجابيات الخاطئة ، ويوفر أيضًا بيانات حول تكوين الكوكب. تكمن المشكلة الرئيسية في أن هذا الاكتشاف ممكن فقط إذا كان الكوكب يدور حول نجم لامع نسبيًا وإذا كان الكوكب يعكس أو يُصدر الكثير من الضوء. [6]

مصطلح الكتلة الحقيقية مرادف لمصطلح الكتلة ، ولكنه يستخدم في علم الفلك للتمييز بين الكتلة المقاسة لكوكب ما من الكتلة الدنيا التي يتم الحصول عليها عادةً من تقنيات السرعة الشعاعية. [7] تتضمن الطرق المستخدمة لتحديد الكتلة الحقيقية للكوكب قياس المسافة والفترة بين أحد أقمارها ، [8] تقنيات قياس الفلك المتقدمة التي تستخدم حركات الكواكب الأخرى في نفس النظام النجمي ، [7] وتجمع السرعة الشعاعية تقنيات مع ملاحظات العبور (التي تشير إلى ميول مدارية منخفضة للغاية) ، [9] والجمع بين تقنيات السرعة الشعاعية مع قياسات اختلاف المنظر النجمي (التي تحدد أيضًا الميول المدارية). [10]

استخدام وظيفة الجيب تحرير

في علم المثلثات ، دائرة الوحدة هي دائرة نصف القطر التي تتمحور حول نقطة الأصل (0 ، 0) في نظام الإحداثيات الديكارتية.

دع خطًا يمر عبر الأصل ، مما يجعل زاوية θ مع النصف الموجب من x-المحور ، يتقاطع مع دائرة الوحدة. ال x- و ذ- إحداثيات نقطة التقاطع هذه تساوي cos (θ) وخطيئة (θ) ، على التوالى. دائمًا ما تكون مسافة النقطة من الأصل 1.

مع كتلة 93 مرة فقط من كوكب المشتري (M. ي) أو .09 م ، AB Doradus C ، رفيق AB Doradus A ، هو أصغر نجم معروف يخضع للاندماج النووي في جوهره. [11] بالنسبة للنجوم ذات المعادن المماثلة للشمس ، فإن الحد الأدنى النظري للكتلة التي يمكن أن يمتلكها النجم ، والذي لا يزال يخضع للاندماج في القلب ، يقدر بحوالي 75 مليونًا. ي. [12] [13] عندما تكون المعادن منخفضة جدًا ، وجدت دراسة حديثة عن أضعف النجوم أن الحد الأدنى لحجم النجم يبدو حوالي 8.3٪ من كتلة الشمس ، أو حوالي 87 مليونًا ي. [13] [14] تسمى الأجسام الأصغر بالأقزام البنية ، والتي تحتل منطقة رمادية سيئة التحديد بين النجوم وعمالقة الغاز.


ما نعرفه (ولا نعرفه) عن كوكب خارج المجموعة الشمسية Kepler-22b

The discovery of Kepler-22b, an exoplanet orbiting Kepler-22 (otherwise known as UCAC3 276-148830, a sun-like G5 star about 600 light years from Earth) within the "habitable zone," the region where liquid water could exist on a planet's surface, was confirmed on December 5, 2011.

Kepler-22b is about 2.4 times the radius of Earth. Its orbital period is 289.9 days, which sets the semimajor axis of its orbit at 0.85 Astronomical Units. Scientists don't yet know if the newly discovered planet has a predominantly rocky, gaseous, or liquid composition, but its discovery is a step closer to finding Earth-like planets.

AAAS MemberCentral had the opportunity to ask AAAS member Alan Boss of the Department of Terrestrial Magnetism at the Carnegie Institute for Science about Kepler-22b and the status of the quest for exoplanets. Here are his comments.

AAASMC: Can you briefly describe Kepler-22b and its home star?
Alan Boss:
The planet is a super-Earth, that is, a planet with a mass perhaps in the range of 10 to 15 times that of the Earth. We do not know of what it is composed, but given its size, about 2.4 the diameter of the Earth, we expect it to be made up of rock, iron, ice, and water. Most likely it has an ocean covering most of its surface. If the planet has an atmosphere, as we expect it does, the average temperature on the surface should be about 72 degrees Fahrenheit.

The host star is a star remarkably similar to our sun -- if we were living on the planet and looked up at the star, it would look very much like our own sun. It has just about the same mass and size, though it is a little bit fainter.

AAASMC: What observational methods and techniques have so greatly changed the exoplanetary landscape? Is this new momentum likely to continue?
Boss:
51 Peg b, discovered in 1995, is considered the first bona fide planet found around a sun-like star. Since then, most of the confirmed planet candidates have been found by Doppler spectroscopy, which measures the wobble of the star around the center of mass of the star-planet system. Ground-based transit surveys have found the next largest number of exoplanets. Kepler has now found over 2000 exoplanet candidates, by doing a transit survey from space, so that the Earth's atmosphere does not interfere with the observations. Kepler will continue to discover large numbers of new exoplanets, especially if NASA grants a mission extension for Kepler.

AAASMC: Kepler-22b was discovered by observing its transit between its star and us. This makes the atmosphere (if any) surrounding the planet available for observational analysis. Is there currently any sign that Kepler-22b has an atmosphere, and if so, what is known about it?
Boss:
Exoplanetary atmospheres are studied by how the light of the host star is absorbed by passing through the planet's atmosphere. An atmosphere on Kepler-22b has not been detected to my knowledge, and it is unlikely to be detected with any current instrumentation.

AAASMC: What upcoming technique and/or missions may tell us more about the nature of Kepler-22b? And what sort of characteristics might we be able to discover, if present?
Boss:
Kepler-22 may be too far away for even the yet to be launched James Webb Space Telescope to say anything about the atmosphere of its planet. We need to find planets that are much closer to Earth for us to do a proper follow-up.

AAASMC: The Drake equation attempts to quantify the number of SETI-discoverable civilizations in the galaxy. Two of the multiplicative factors in Drake's equation characterize solar systems in ways to which the current spate of exoplanetary discovery is relevant -- fص is the fraction of stars that have planets, and ηه is the average number of planets that can potentially support life per star that has planets. What effect has the recent spate of exoplanetary discoveries had on the Drake equation?
Boss: It means that ηه is going to turn out to be fairly close to one, though we won't know for sure what it really is until Kepler finishes an extended mission, perhaps four or five years from now.


Polyline Bulges - Part 1

Bulges are something that women have (mostly to please the opposite sex it seems) and something that guys try to get by placing socks in strategic places. At least until they get older. Which is the time they tend to develop bulges in not so strategic places. In other words: bulges are all about curvature.

In AutoCAD, bulges are used in shapes and in arc segments of polylines. This article only deals with polyline bulges, and because polyline bulges are describing circular arcs, let's first look at the geometry of a circular arc.

Because a circular arc describes a portion of the circumference of a circle, it has all the attributes of a circle:

  • Radius (r) is the same as in the circle the arc is a portion of.
  • Center point (P) is also the same as in the circle.
  • Included angle (&theta). In a circle, this angle is 360 degrees.
  • Arc length (le). The arc length is equal to the perimeter in a full circle.

Adding to these attributes are some that are specific for an arc:

  • Start point and end point (P1 and P2) a.k.a. vertices (although sometimes it is practical to talk about specific points that a circle passes through, there are no distinct vertices on the circumference of a circle).
  • Chord length (c). An infinite amount of chords can be described by both circles and arcs, but for an arc there is only one distinct chord that passes through its vertices (for a circle, there is only one distinct chord that passes through the center, the diameter, but it doesn't describe any specific vertices).
  • Given two fixed vertices, there is also a specific midpoint (P3) of an arc.
  • The apothem (a). This line starts at the center and is perpendicular to the chord.
  • The sagitta (s) a.k.a. height of the arc. This line is drawn from the midpoint of an arc and perpendicular to its chord.

Except for the arc itself, an arc can describe two distinct geometric forms: Circular segment and circular sector. Both figures includes all of the attributes above, but for doing calculations with bulges, we'll mostly use the piece of pie that the arc cuts out of a circle, the circular sector.

So, what is a bulge for a circular arc and how is it defined? In AutoCAD's online help reference, it says about bulges for polylines:

What does this mean and how can an arc be defined without even knowing the radius - or at least a chord length? It says that the only information given for arc segments in polylines are two vertices and a bulge.

Well, it also says that the bulge has something to do with the tangent of a quarter of the included angle of an arc. That must be a clue of how to obtain the angle. In fact, once you have a bulge value, you can very quickly retrieve the included angle by inverting the above statement. Simply use the built-in function ATAN to get an angle and multiply it by 4 in order to get the included angle:

So, a bulge of 0.57735 is describing an included angle of 2.09439 radians (which is 120.0 degrees, by the way). Try it out for yourself. Start drawing a lightweight polyline, type "A" for arc, then "A" again for Angle and "120.0" for the included angle. Drop the endpoint somewhere, leave the polyline command and type this at the command line:

Now you have a bulge value for the arc segment in the polyline, and you can try out the formula above.

OK, fine. But why is the bulge 1/4 of the included angle and where does the tangent fit in? There are many ways to explain this. One is shown below. The figures show a circle with a central angle describing an arc and we'll try to show that the yellow angles &epsilon and &sigma are exactly one quarter of the cyan central angle &theta.

If the full angle is cut in half - as shown with the blue angle &eta at figure 2 - we get an isosceles triangle (green) where the angles &phi and &tau are equal. Because the sum of angles in a triangle is always 180 degrees, we now know that the angles &phi and &tau are:

Now look at the chord from P1 to P2 in figure 3. Together with the red legs of angle &theta it also forms an isosceles triangle, and therefore &gamma is equal to &xi. The top angle is the full angle of &theta, so &gamma and &xi become equal to:

Thus, the yellow angle &epsilon must be the magenta angle &phi minus the orange angle &gamma. In other words, &epsilon is a quarter of the included angle &theta:

The bulge is describing how much the arc "bulges out" from the vertices, i.e. the height of the arc (the sagitta (s), or the distance P3 to P4 in figure 4). The height forms a leg of a right-angled triangle that has an exact angle of 1/4 of the included angle (see the yellow triangle P-P2-P3 in figure 4) and because tangent is describing the ratio between the legs in a right-angled triangle, it's easy to describe the geometry with this one angle:

We could also find tangent of angle &epsilon by simply dividing the opposite leg with the adjacant leg &mdash which means the sagitta, s, divided by half the distance of the chord, c, &mdash but not knowing s and having the tangent of &epsilon already, we would rather want to find s:

Given that bulge = tan(&epsilon), we get

Radius of the arc can now be found with this formula:

The sign of a particular bulge is important for the way it's defined in relation to the vertices. If a bulge is positive it means that the arc is measured counterclockwise from the starting vertex to the end vertex. If a bulge is negative it means that the arc runs the other way round, &mdash it's measured clockwise. The system variable ANGDIR has no influence on this.

Therefore all the formulas above has to be concerned about the absolute value of the bulge instead of the actual value &mdash or you might end up with a negative radius. In the code below we will find the center point. There are many ways to do this, but the method that is chosen here relies on the angles that were defined previously. Subsequently, we will need it to test whether the bulge is postive or negative and act accordingly.

Remember that the orange angle &gamma in fig. 3 was found to be 90 degrees minus half of the included angle? What happens if we add (or subtract, depending on the arc direction) this angle to the angle between the two known vertices P1 and P2? We get the angle towards the center. Knowing the angle, the radius and the start point of the arc we can find the center point with POLAR.

Another way to find the direction towards the center is to use good old Pythagorus. We already know radius and the chord length, so by using radius as the hypothenuse and half the chord length as a leg in a right-angled triangle, where the apothem is the second leg, it's possible to draw the apothem and find the center point.

By now, enough angles and distances are known to also use other trigonometric functions in order to find the center point without using POLAR, but that has to remain a home assignment for now. Let's get some code up'n'running, utilizing the formulas and methods we just went over. Later we will repeat some of the formulas to use with bulges.

First function will be an ordinary pick-a-polyline function. It contains no magic. The user is merely asked to pick a lightweight polyline and, if successful, it returns a list of all segments on the form (vertex1 bulge vertex2). These segments will later be used to analyze each arc segment in the polyline. Although it only accepts lightweight polylines, there's nothing to prevent you from adjusting it to also accept old-style polylines.

Next function will be our workhorse. It will use everything we now know about retrieving included angle, height of arc, chord length, radius and center point.
The function accepts a list of arguments on the form that corresponds to the segment sublists from the previous function - (vertex1 bulge vertex2). If the argument is acceptable, it will print out information about the arc segment. We'll let the comments in the code take over any further explanation.

To try out these two functions, first draw a lightweight polyline with a couple of arc segments. At the command line, call getPolysegs and assign a variable to the returned list:

If a lightweight polyline was selected, it will return a list of segments. If, for example, the second segment contains a bulge value different from 0.0 then you can call the latter function like this:

The last function in this article will bind the two functions together and explore each arc segment in the selected polyline. It will appear in part two &mdash along with some useful formulas for dealing with bulges.


How to find the radius of a satellite not knowing the mass - Astronomy

Tim.Wright wrote: I'm not completely understanding why you require the trajectory radius. If you look on the F1 site, you can see the speed and lateral acceleration at many of the corners and from that information you should be able to calculate the downforce.

If you really want to know the corner radius, then its equal to V^2 / LatAcc.

I used your advice and calculated the radius using lateral acceleration. I subsequently used the centripetal force, Fc=m*V^2/R and then Fc=tyre friction * (weight of car + Downforce) to calculate the downforce.

However in corners with low lateral acceleration i am getting results of a negative value for downforce and i can't get my head around it.

Re: Corner Radius for Corners of the Gilles Villeneuve Circu

Re: Corner Radius for Corners of the Gilles Villeneuve Circu

Re: Corner Radius for Corners of the Gilles Villeneuve Circu

Here a plausible racing line computer generated, using speed data of Rosberg’s 2014 pole (from analysis of engine noise) and track’s boundaries (from satellite image), with the aim of minimizing an opportune fitness function of the resulting lateral acceleration and other parameters:

And here the corresponding radiuses (numbers are only to give you an easy visual correspondence between the graphs, not corner’s “names”):

Obviously it’s not the exact representation of the racing line Rosberg followed, just a reasonable trajectory to get an hopefully close estimate of lateral acceleration (it’s very simplified, mass point), but should be good enough for your needs.

BTW, I’d be interested in knowing the reasons that made you pick Canada, of all tracks, for the project you describe, not sure it’d be my first choice.


8.2: Problem

  • Contributed by Jeremy Tatum
  • Emeritus Professor (Physics & Astronomy) at University of Victoria

In this section I offer a set of miscellaneous problems. In a typical problem it is assumed that an impulsive force or torque acts for only a very short time. By "a very short" time, I mean that the time during which the force or torque acts is very small or is negligible compared with other times that might be involved in the problem. For example, if a golf club hits a ball, the club is in contact with the ball for a time that is negligible compared with the time in which the ball is in the air. Or if a pendulum is subjected to an impulsive torque, the time during which the impulsive torque is applied is negligible compared with the period of the pendulum.

In many problems, you will be told that a body is subjected to an impulse ( J). The easiest way to interpret this is to say that the linear momentum of the body suddenly changes by ( J). Or you may be told that the body is subjected to an impulsive torque ( K). The easiest way to interpret this is to say that the angular momentum of the body suddenly changes by ( K).

In some of the problems, for example the first one, the body concerned is freely hinged about a fixed point that is, it can freely rotate about that point.

Before giving the first problem, here is a little story. One of the most inspiring lectures I remember going to was one given by a science educator. She complained that a professor, instead of inspiring his students with a love and appreciation of the great and profound ideas of science and civilization, "infantalized" the class with a tiresome insistence that the class use blue pencils for velocity vectors, green for acceleration, and red for forces. I recognized immediately that this was a great way of imparting to students an appreciation of the profound ideas of physics, and I insisted on it with my own students ever since. In some of the following drawings I have used this colour convention, though I don't know whether your computer will reproduce the colours that I have used. In any case, I strongly recommend that you use the colour convention so deprecated by the educator if you want to understand the great ideas of civilization, such as the ideas of impulsive forces.

In Figure VIII.2, a body is free to rotate about a fixed axis O. The centre of mass of the body is at C. The distance OC is ح. The body is struck with a force of impulse ( J) at A, such that OA = ( x). The mass of the body is ( m). Its rotational inertia about C is ( mk^<2>), and its rotational inertia about O is ( m(k^<2>+h^<2>)).

As a result of the blow, the body will rotate with angular speed w and the centre of mass will move forward with linear speed ح w . One of the questions in this problem is to احسب ( omega)

The body will also push with an impulsive force against the axis at O. It is not immediately obvious whether the body will push upwards against the axis in the same direction as ( J), or whether the left hand end of the body will swing downwards and the body will push downwards on the axis. You will probably agree that if A is very close to O, the body will push upwards on the axis, but if A is near the right hand end, the body will push downward on the axis. In the Figure, I am assuming that the الجسم pushes upwards على ال محور ال محور therefore pushes downwards على ال الجسم, with a force of impulse ( P), and what the Figure shows is the two impulsive forces that act على الجسم. The second question to be asked in this problem is to find ( P) in terms of ( J) and ( x).

If we are right in our intuitive feeling that ( P) acts upwards or downwards according to the position of A - i.e. on where the body is struck - there is presumably some position of A such that the reactive impulse of the axis on the body is zero. Indeed there is, and the position of A that gives rise to zero reactive impulse at A is called the centre of percussion، وأ third question in this problem is to find the position of the centre of percussion. Where on the bat should you hit the baseball if you want zero impulsive reaction on your wrists? Where should you position a doorstop so as to result in zero reaction on the door hinges? Never let it be said that theoretical physics does not have important practical applications. The very positioning of a door-stop depends on a thorough understanding of the principles of classical mechanics.

The net upward impulse is ( J - P), and this results in a change in linear momentum ( mhomega):

The impulsive torque about O is ( Jx), and this results in a change in angular momentum ( Iomega) that is to say ( m(k^<2>+h^<2>)omega):

These two equations enable us to solve for the two unknowns ( omega) and ( P). Indeed, Equation ( ef) gives us ( omega) immediately, and elimination of ( omega) between the two equations gives us ( P):

If the right hand side of Equation ( ef) is positive, then Figure VIII.2 is correct: the axis pushes down on the body, and the body pushes upwards on the axis. That is, ( P) acts downwards if ( x<frac+h^<2>>), and upwards if ( x>frac+h^<2>>). The position of the centre of percussion is ( x=frac+h^<2>>).

If the body is a uniform rod of length ( l), O is at one end of the rod, then ( k^<2>=frac<1><12>l^<2>) so that, in this case, ( x=frac<2><3>l). This is where you should position a door-stop. It is also where you should hit a baseball with the bat - if the bat is a uniform rod. However, I admit to not knowing a great deal about baseball bats, and if such a bat is not a uniform rod, but is, for example, thicker and heavier at the distal than the proximal end, the centre of percussion will be further towards the far end.

A heavy rod, of mass ( m) and length ( 2l) , hangs freely from one end. It is given an impulse ( J) as shown at a point at a distance ( x) from the upper end. Calculate the maximum angular height through which the rod rises.

We can use Equation ( ef) to find the angular speed ( omega) immediately after impact. In this equation, ( m(k^<2>+h^<2>)) is the rotational inertia of the rod about its end, which is ( frac<4ml^<2>><3>), so that

The kinetic energy immediately after impact is ( frac<1><2>cdotfrac<4><3>ml^<2>cdotomega^<2>) and we have to equate this to the subsequent gain in potential energy ( mgl(1-cos heta)).

To get the rod to swing through 180 o , the angular impulse applied must be

A uniform rod of mass ( m) and length ( 2l) is freely hinged at one end O. A mass ( cm) (where ( c) is a constant) is attached to the rod at a distance ( x) from O. An impulse ( J) is applied to the other end of the rod from O. Where should the mass ( cm) be positioned if the linear speed of the mass ( cm) immediately after the application of the impulse is to be greatest?

The angular impulse about O is ( 2lJ) . The rotational inertia about O is ( frac<4><3>ml^<2>+cmx^<2>). If w is the angular speed immediately after the blow, the angular momentum is ( (frac<4><3>ml^<2>+cmx^<2>)omega). If we equate this to the impulse, we find

The linear speed of the mass ( cm) is ( x) times this, or ( frac<6lJ>+3cx^<2>)>). By calculus, this is greatest when ( x=frac<2l>>).

A uniform rod is of mass ( m) and length ( 2l) . An impulse ( J) is applied as shown at a distance ( x) from the mid-point of the rod. P is a point at a distance ذ from the mid-point of the rod. Does P move forward or backward? Which way does A move?

The first thing we can do is to find the linear speed ( u) of the centre of mass of the rod and the angular speed ( omega) of the rod. We do this by equating the impulse to the increase in linear momentum and the moment of the impulse (i.e. the angular impulse) to the increase in angular momentum:

The forward velocity of P is ( u +yomega) . That is to say ( frac+frac<3Jxy>> ). This is positive if ( y>-frac><3x>) but negative otherwise. For the point A, ( y=-l), so that A will move forward if ( x<frac<3>), and it will move backwards otherwise.

A spherical planet, mass ( m), radius ( a), is struck by an asteroid with an impulse ( J) as shown, the impact parameter being ( x). P is a point on the diameter, a distance ( y) from the centre of the planet. Does P move forward or backward? Which way does A move?

As in the previous problem, we can easily find ( u) and ( omega) :

The forward velocity of P is ( u+yomega) . That is to say ( frac(1+frac<5xy><2a^<2>>)). This is positive if ( y>-frac<2a^<2>><5x>) but negative otherwise. For the point A, ( y=-a), so that A will move forward if ( x<frac<2a><5>), and it will move backward otherwise. That is to say A will move backwards if the blow is more that 70% of the way from A to B.

A hoop, radius ( a), mass ( m), moving at speed ( v) , hits a kerb of height ( h) as shown. Will it mount the kerb, or will it fall back?

The only impulse acts at the point A. The moment of the impulse about A is therefore zero, and therefore there is no change in angular momentum with respect to the point A.

Before impact, the angular momentum with respect to the point A is

Let ( omega) be the angular speed about A after impact. The angular momentum about A is then ( 2ma^<2>omega) . These are equal, so that

If it is to mount the kerb, the new kinetic energy ( frac<1><2>(2ma^<2>)omega^<2>) must be greater than the potential energy that is to be overcome, ( mgh).

Three equal particles, A, B and C, each of mass م, are joined by light inextensible strings as shown, the angle BAC being 60 o . A is given a sharp tug of impulse ( J) as shown. Find the initial velocities of the particles and the initial tensions in the strings.

Let the initial tensions in BA and AC be ( T) and ( T') respectively.

Let the initial velocity of A be ( uf+vf).

Then the initial velocity of B is ( uf)

and the initial velocity of C is ( frac<1><2>(u-sqrt<3v>)) towards A.

The equations of impulsive motion are:

The solutions of these equations are:

Two rods, each of mass ( m) and length ( 2l), are freely jointed as shown. One of them is given an impulse ( J) as shown. What happens then is that the end of one rod gives the end of the other an impulsive kick ( P), and the other gives the one an equal kick in the opposite direction. The centre of mass of the system moves forward with speed ( u) and the two rods rotate with angular speeds ( omega_<1>) and ( omega_<2>). The problem is to determine ( P), ( u), ( omega_<1>) and ( omega_<2>).

The equations of impulsive motion are:

The solutions to these equations are:

Two rods, each of mass ( m) and length ( 2l), are freely jointed initially at right angles. They are dropped on to a smooth horizontal table and strike it with speed ( V). Find the rate ( dot< heta>) at which the rods splay apart immediately after impact.

We consider the dynamics of the right hand rod. On impact, it experiences a vertical impulse ( J) at its lower end, and it experiences a horizontal impulse ( P) (from the other rod) at its upper end. Immediately after impact, let the components of the velocity of the centre of mass of the right hand rod be ( u) and ( v), and the angular speed of the rod is the required quantity ( dot< heta>).

( x=lsin heta) and ( y=lcos heta)

The impulsive equations of motion are

After that, some algebra results in

A square plate is spinning about a vertical diameter at angular speed ( omega_<1>). It strikes a fixed obstacle at the corner A, so that it subsequently spins about a vertical axis through A at angular speed ( omega_<2>). Find ( omega_<2>) .

Since the impulse is at A, the moment of the impulse about A is zero, so that angular momentum about A is conserved. The relevant moments of inertia can be calculated from the information in Chapter 2, and hence we obtain


2 إجابات 2

To be a valid RADIUS Request, a RADIUS server generally not only expects the requests to use the RADIUS Secret, but also for the requests to come from a certain IP.

Not knowing Python/Pyrad I am guessing that at least one of the IPs in the following part of your server-code should be the client-IP, from which you are attempting to send the request from:

Check the documentation of Pyrad, it should say something about Client IPs.

I found this while looking for the answer myself. I eventually fumbled through the code library and got a response from the server. For background, I'm setting this up for ryu-controller. My server is FreeRADIUS and they are on separate VMs. I've been testing with the radclient utility - so I already knew the server worked.

make sure that server="192.168.3.183" is the IP of your server. When I initially looked at this code I thought I had to include the clients IP but I remembered radtest doesn't require this - so that prompted me to change the parameter. Also I removed NAS_IP_Address from the CreateAuthPacket method/function.

Your server code seems to be listing 192.168.3.183 as the client. So your Client Object is setting itself as the "RADIUS" server. I would recommend setting up FreeRADIUS and using the radtest/radclient utility (it is a part of FreeRADIUS) and test out each piece of code separately. Quick Setup Guide


Using Density Tables

If you have an object made of a known material, you can look up its density in a table. This information allows you to calculate its volume by weighing it. If you already know its volume, you can calculate its mass. Using the density, mass, volume calculator just requires rearranging the density equation to express the parameter you want in terms of the other two.

مثال: Suppose you have a gold statue, and you want to find its volume.

D = m ÷ v, so v = m ÷ D

You find the statue weighs 2 kg. In a table, you'll find the density of gold to be about 19,300 kg/m 3 .

Plugging in numbers, you find the volume to be 2 kg ÷ 19,300 kg/m 3 = 0.0001 m 3 or about a tenth of a liter.

مثال: How much does a milliliter of mercury weigh?

D = m ÷ v, so m = Dv

The density of mercury is 13.6 g/ml, so a volume of 1 ml has a mass of 13.6 grams.


شاهد الفيديو: إيجاد نصف قطر الدائرة من خلال قوس فيها (شهر اكتوبر 2021).