الفلك

تحديد المسافة من المحور شبه الرئيسي والانحراف

تحديد المسافة من المحور شبه الرئيسي والانحراف

أحاول الحصول على المسافة التي يقطعها جسم في مدار حول الأرض خلال فترة زمنية محددة بعد مرور نقطة الحضيض. الكائن في مدار بيضاوي مع الانحراف 0.2 وله محور شبه رئيسي يبلغ 9600 كم. أين سأبحث عن موضع الأشياء بعد 90 دقيقة من تجاوزها الحضيض؟ شكرا على أي نصيحة


لنفترض أن كتلة الجسم لا تذكر مقارنةً بكتلة الأرض ، يمكنك اشتقاق الفترة المدارية $ T $ من قانون Keplero الثالث:

$ frac {T ^ 2} {a ^ 3} = frac {4 pi ^ 2} {G (m_E + m_b)} almost frac {4 pi ^ 2} {Gm_E}، $

حيث $ a $ هو شبه رئيسي. باستخدام $ T $ ، تعرف أيضًا في كل مرة متوسط ​​الشذوذ $ M $ ، معطى بواسطة (افترض أن $ t = 0 $ عند نقطة الحضيض):

$ M (t) = frac {2 pi} {T} t $.

حل معادلة Keplero عدديًا للشذوذ غريب الأطوار $ E $ (حيث $ e $ هو الانحراف)

$ M = E - e sin E $

ثم استخدم المعادلة التالية لاشتقاق الشذوذ الحقيقي $ nu $ ، وهي الزاوية بين اتجاه الذروة والموضع الحالي للجسم ، كما يُرى من الأرض:

$ cos nu = frac { cos E - e} {1 - e cos E} $ و $ sin nu = frac { sqrt {1-e ^ 2} sin E} {1 - e cos E} $.

يتم تحديد المسافة من الأرض فقط من خلال معادلة المدار

$ r = frac {a (1-e ^ 2)} {1 + e cos nu} $.

إذا لم أكن مخطئًا في الحساب ، فيجب أن يكون:

$ T = 9364 ثانية = 2.6 ساعة

مليون دولار (90 دقيقة) = 207.60 درجة دولار

E $ (90 دقيقة) = 203.11 درجة $

$ nu (90 دقيقة) = 198.95 درجة $

$ ص = 11'366 كيلومترًا

للحصول على المسافة المقطوعة ، يجب أن تحسب خط تكامل معادلة المدار.


Dario_Panarello أعتقد أن ما تقوله صحيح لمراقب مركزية الأرض غير دوار ، لكن نصف قطر الأرض كبير إلى حد ما مقارنة بالمدار ، لذلك لا أعتقد أن تقريب مركزية الأرض يعمل بشكل جيد.

ليس لدي إجابة ، لكني أعتقد أن الحل يبدو كالتالي:

حيث الدائرة الزرقاء الفاتحة هي الأرض ، والنقطة الزرقاء الصغيرة هي المركز الجغرافي ، والنقطة السوداء في الدائرة الزرقاء هي مركز القطع الناقص ، والقطع الأسود هو مدار القمر الصناعي ، والنقطتان الأسودتان الموجودتان في الشكل البيضاوي هما موقع الحضيض والنهائي للقمر الصناعي على التوالي.

حتى مع السماح بدوران الأرض في إطار زمني مدته 90 دقيقة ، لست متأكدًا من أن أي شخص على الأرض يمكنه رؤية القمر الصناعي عند نقطة الحضيض وفي موقعه النهائي.

أنا أعمل على إجابة أكثر اكتمالاً على https://github.com/barrycarter/bcapps/blob/master/STACK/bc-solve-astronomy-13635.m


تحديد المسافة من المحور شبه الرئيسي والانحراف - علم الفلك

المحور شبه الصغير ، ب، هو نصف القطر الأقصر للقطع الناقص. جنبا إلى جنب مع المحور شبه الرئيسي ، أ، وغرابة الأطوار ، ه، فإنه يشكل مجموعة من القيم ذات الصلة التي تصف تمامًا شكل القطع الناقص:

في الإحداثيات الديكارتية (س ، ص)، القطع الناقص هو حل:

أو في الإحداثيات القطبية (ص ، θ):

دراسة علم الفلك عبر الإنترنت في جامعة سوينبورن
جميع المواد محفوظة لشركة Swinburne University of Technology باستثناء ما هو محدد.


نصف المحور الرئيسي

في الهندسة ، المحور الرئيسي من القطع الناقص هو القطر الأطول: خط (جزء خطي) يمر عبر المركز وكلتا البؤرتين ، مع نهايات عند أعرض نقاط الشكل. ال نصف المحور الرئيسي نصف المحور الرئيسي ، وبالتالي يمتد من المركز ، من خلال التركيز ، وإلى حافة القطع الناقص بشكل أساسي ، فهو نصف قطر مدار عند أبعد نقطتين في المدار. بالنسبة للحالة الخاصة للدائرة ، يكون المحور شبه الرئيسي هو نصف القطر. يمكن للمرء أن يفكر في المحور شبه الرئيسي على أنه قطع ناقص نصف قطر طويل.
طول المحور شبه الرئيسي أ القطع الناقص مرتبط بطول المحور شبه الصغير ب من خلال الغرابة ه والمستقيم شبه العريض ، كما يلي:


ال المحور شبه الرئيسي للقطع الزائد هو ، حسب الاتفاقية ، زائد أو ناقص نصف المسافة بين الفرعين. وبالتالي فهي المسافة من المركز إلى أي رأس (نقطة تحول) للقطع الزائد.
يمكن الحصول على القطع المكافئ كحد لسلسلة من القطع الناقصة حيث يتم الاحتفاظ بتركيز واحد ثابتًا بينما يُسمح للآخر بالتحرك بعيدًا بشكل تعسفي في اتجاه واحد ، مع الاحتفاظ مثبت. وهكذا تميل إلى اللانهاية ، أ اسرع من ب.


القطع الناقص: الانحراف

يمكن وصف الدائرة بأنها قطع ناقص لها مسافة من المركز إلى البؤر تساوي 0. وكلما زادت المسافة بين المركز والبؤر ، تحدد شكل الشكل البيضاوي. هكذا المصطلح شذوذ يستخدم للإشارة إلى الشكل البيضاوي للقطع الناقص.

إذا كان القطع الناقص قريبًا من دائري ، فسيكون له انحراف قريب من الصفر. إذا كان للقطع الناقص انحراف مركزي قريب من أحد ، فإن درجة عالية من البيضاوية.

يوضح الشكل 1 صورة لقطعتين بيضاويتين ، أحدهما دائري تقريبًا مع انحراف قريب من الصفر والآخر بدرجة أعلى من الانحراف.

التعريف الرسمي للانحراف هو:

غرابة الإنخفاض:

الانحراف (e) للقطع الناقص هو نسبة المسافة من المركز إلى البؤر (ج) والمسافة من المركز إلى القمم (أ).

عندما تقترب المسافة بين المركز والبؤر (ج) من الصفر ، تقترب نسبة c a من الصفر ويقترب الشكل من دائرة. الدائرة لها انحراف مركزي يساوي صفرًا.

عندما تقترب المسافة بين المركز والبؤر (ج) من المسافة بين المركز والرؤوس (أ) ، فإن نسبة ج أ تقترب من واحد. القطع الناقص ذو الدرجة العالية من البيضاوي له شذوذ يقترب من واحد.

دعنا نستخدم هذا المفهوم في بعض الأمثلة:

الخطوة 1: تحديد قيم المسافة بين المركز والبؤر (ج) والمسافة بين المركز والرؤوس (أ).

طول: تتم كتابة المعادلة المحددة للقطع الناقص في الشكل القياسي. بما أن المحور الرئيسي هو 2 أ والمحور الأصغر هو 2 ب ، فإن أ 2> ب 2 ، وبالتالي 2 = 16.

طول ج: لإيجاد c ، يمكن استخدام المعادلة c 2 = a 2 + b 2 ولكن يجب تحديد قيمة b. من مناقشتنا أعلاه ، b 2 = 9. أوجد b وحل من أجل c.

ص 2 = 4 2 & # x2212 3 2 & # x2192 ج 2 = 7 & # x2192 ج = 7

الخطوة 2: استبدل قيم c و a في معادلة الانحراف.


تحديد المسافة من المحور شبه الرئيسي والانحراف - علم الفلك

دعم نموذج مركزية الشمس

على الرغم من أن كوبرنيكوس وضع المبادئ الأساسية لنموذج مركزية الشمس ، إلا أنه كان يُنظر إليه على أنه مجرد طريقة بديلة للتفكير في الكون ، دون أي يقين من أن الأرض تتحرك بالفعل. قدم عالمان لاحقان ، جاليليو وكبلر ، عدة حجج قوية لصالح نموذج مركزية الشمس.

قدم جاليليو دليلًا على الملاحظة:

أقمار كوكب المشتري: قدم دليلاً واضحًا على وجود أجسام أصغر تدور حول أجسام أكبر (على الرغم من عدم معرفة أحد لماذا - انظر أيضًا)
مراحل كوكب الزهرة: أعطى دليلًا واضحًا على أن كوكب الزهرة يدور حول الشمس
البقع الشمسية على الشمس: قدم دليلاً واضحًا على أن الجنة ليست "كاملة"
الحفر والجبال
على القمر :
قدم دليلاً واضحًا على أن القمر هو "عالم" آخر
قوانين كبلر الثلاثة (نسخة نوعية)
القانون الأول: تسافر الكواكب في مدارات إهليلجية مع تركيز واحد على الشمس
القانون الثاني: تتحرك الكواكب بشكل أبطأ في مداراتها عندما تكون بعيدة عن الشمس عنها عندما تكون قريبة من الشمس
القانون الثالث: الكواكب ذات المدارات الأكبر تتحرك ببطء أكثر من الكواكب ذات المدارات الأصغر.
  • 18 سبتمبر - عطارد أكبر استطالة شرقية (26 درجة)
  • 29 أكتوبر - عطارد في أكبر استطالة غربية له (18 درجة)
  • 12 كانون الثاني (يناير) - عطارد في أكبر استطالة شرقية له (19 درجة)
  • 21 فبراير - عطارد عند أكبر استطالة غربية (27 درجة)
  • 04 مايو - عطارد أكبر استطالة شرقية (20 درجة)
  • 21 يونيو - عطارد عند أكبر استطالة غربية (22 درجة)

من خلال قياس أكبر استطالة لعطارد من عدة أماكن على طول مدار الأرض ، يمكن تحديد أي اختلاف في مسافة عطارد من الشمس.

إن وضع الكواكب الخارجية أصعب ، لكن يمكن القيام به. فعل كبلر ذلك من خلال مراقبة الكوكب الخارجي في أزواج من الأوقات مفصولة بدوران فلكي واحد للكوكب. فيما يلي مخطط تفصيلي لكيفية القيام بذلك ، لزوج واحد من ملاحظات المريخ:

تحديد مسافة الكوكب الخارجي من الشمس:

خذ قياسين لاستطالة المريخ (الزاوية من الشمس) ، على بعد فترة فلكية واحدة (687 يومًا). الأرض في الموقع هاء في وقت الملاحظة الأولى ، تدور مرة واحدة حول مدارها وتعود إلى الموقع ه (يكاد يكمل مدارين) بعد دوران المريخ مرة واحدة.

يوضح الشكل أدناه الوضع على نطاق أوسع ، مع تسمية الزوايا. زاويتا الاستطالة هما e و e '، ونعرف الزاوية أيضًا ن، وهو عدد الدرجات الأقل من مدارين كاملين تحدثهما الأرض في 687 يومًا. يجب أن تكون قادرًا على إظهار ذلك ن = 42.89 درجة.

نظرًا لأن المثلث D SEE 'عبارة عن قيلة متساوية ، يمكننا تحديد a ، (يجب أن تكون قادرًا على إظهار أنه 68.56 درجة) ومن ثم الطول EE ' (استخدم قانون الجيب لتظهر أنه 0.73 AU). اطرح a من e و e 'مما يتيح لنا إيجاد المثلث D EPE". أخيرًا ، باستخدام قانون جيب التمام للمثلث د SPE، يمكننا تحديد المسافة ص.

  • نصف المحور الرئيسي أ = نصف المحور الطويل للقطع الناقص
  • المحور شبه الصغرى ب = نصف المحور القصير للقطع الناقص
  • غرابة ه = مسافة التركيز F من المركز بوحدات أ . يتراوح الانحراف من 0 (دائرة) إلى 1 (قطع مكافئ).
  • مجموع مسافات نقطة على القطع الناقص من البؤرتين ( ص و ص ') ثابت: ص + ص = 2 أ .
  • كما وجد كبلر ، فإن الكواكب لها مدار عبارة عن قطع ناقص مع الشمس في بؤرة واحدة. في الرسومات أعلاه ، ستكون الشمس في بؤرة التركيز F. سوف يكون لا شيئ على الإطلاق في التركيز F '.
  • عندما يكون الكوكب في موقعه أ على القطع الناقص (الأقرب إلى الشمس) ، فهو في الحضيض .
  • عندما يكون الكوكب في موقعه أفي مداره (الأبعد عن الشمس) ، هو عند اوج

تم استخدام قياسات دقيقة (بواسطة Tycho Brahe) بواسطة Kepler لقياس مدارات الكواكب وإظهار ذلك الأرض تتحرك! تثبت قوانين كبلر كميا أن الوضع الحقيقي يُعطى من خلال نموذج مركزية الشمس تدور فيه الكواكب حول الشمس. أظهر كبلر أن الكواكب تتحرك في شكل قطع ناقص. لقد تعلمنا المصطلحات المهمة لخصائص القطع الناقص: التركيز ، المحور شبه الرئيسي ، المحور شبه الصغير ، الانحراف المركزي ، والمدارات الإهليلجية ، المصطلحات الحضيض والأوج. قمنا بفحص الخصائص والصيغ الرياضية للمقاطع المخروطية (القطع الناقص ، القطع المكافئ ، والقطع الزائد).

اعتقد كبلر أنه كان هناك عالم من الكرات البلورية مرتبة بشكل متناغم (بنسب معينة ، تتعلق بالمواد الصلبة الهندسية العادية) ، لكننا سنرى في المرة القادمة أن نيوتن كان قادرًا على وضع كل شيء على أساس مادي ثابت مع قانونه العام. الجاذبية.


احسب زاوية مسار الرحلة بالنظر إلى المحور شبه الرئيسي والانحراف والمسافة من النقطة المحورية

تتضمن إحدى طرق حساب الزاوية استخدام قانون انعكاس القطع الناقص. ينعكس الضوء المنبعث من أحد البؤرة من القطع الناقص إلى البؤرة الأخرى.

وهكذا في الصورة أدناه (من قبل المؤلف) ، ينعكس المتجه الشعاعي من البؤرة $ F_1 $ عند $ P $ على البؤرة الثانية $ F_2 $ ، مشكلاً مثلث جانبه الثالث هو الخط الفاصل بين البؤر.

زاوية رحلتك $ psi $ هي زاوية السقوط بين المتجه الشعاعي والخط المتقطع الذي يكون عموديًا على مسار الرحلة (العرضي) ، وكذلك زاوية الانعكاس تجاه البؤرة الثانية. وهكذا فإن قياس الزاوية في المثلث عند $ P $ يساوي $ 2 psi $.

نطبق الآن قانون جيب التمام على هذا المثلث:

في مدار دائري ، لديك $ epsilon = 0 $ و $ r = alpha $ ، مما يجعل جيب التمام يساوي $ 1 $ كما هو متوقع. بالنسبة إلى المدار الإهليلجي عندما تكون على المحور الصغير ($ r = alpha $) ، تحصل على صيغة الحد الأقصى زاوية الرحلة:


تحديد المسافة من المحور شبه الرئيسي والانحراف - علم الفلك

لأي قطع ناقص:
التركيز (الجمع: البؤر): نقاط التناظر داخل القطع الناقص
المحور الرئيسي: المحور الطويل للقطع الناقص
المحور الصغرى: المحور القصير للقطع الناقص
المحور شبه الرئيسي (أ): نصف طول المحور الرئيسي
الانحراف اللامركزي: مقياس للخروج من الاستدارة

بافتراض مدار بيضاوي مع الجسم الأساسي عند تركيز واحد:
نقطة الحضيض: أقرب نقطة على القطع الناقص إلى التركيز الذي تشغله الأساسي
apoapse: النقطة الأكثر بعدًا على القطع الناقص من التركيز الذي تشغله الأساسي
الميل: الزاوية بين المدار الإهليلجي والمستوى المرجعي

معادلة القطع الناقص هي: r = a (1-e 2) / [1 + e cos (theta)]
r = المسافة من الجسم المداري إلى التركيز الأساسي
أ = المحور شبه الرئيسي
البريد = الانحراف
ثيتا = الموضع الزاوي في المدار (ثيتا = 0 محدد عند الحضيض)

ما هي أقرب وأبعد مسافات مدارية للأرض عن الشمس (افترض أنك تعرف أ ، هـ)؟

الأقرب: عند الحضيض (الحضيض حول الشمس) ، ثيتا = 0
وهكذا ، صبيري = a (1-e) = 1 AU * (1 - 0.017) = 0.983 AU
أبعد من ذلك: عند الأوج (قفزة حول الشمس) ، ثيتا = 180
وهكذا ، صأف = 1 (1 + e) ​​= 1 AU * (1 + 0.017) = 1.017 AU

بالنظر إلى أن كمية الضوء المتلقاة (I) من الشمس تتغير مع مربع المسافة من الشمس ، ما هو التغير النسبي في التشمس الشمسي (كمية ضوء الشمس المتلقاة) من الحضيض إلى الأوج؟

I_perihelion / I_aphelion = (1.017 / 0.983) 2 = 1.070

هكذا تستقبل الأرض

7٪ أكثر من ضوء الشمس عند الحضيض الشمسي (حوالي 6 يناير) منه في الأوج (حوالي 6 يوليو).


متوسط ​​المسافة المدارية

إذا كان كوكب يدور حول الشمس بمحور شبه كبير ، أ، والانحراف المداري ، ه، غالبًا ما يُقال أن متوسط ​​المسافة بين الكوكب والشمس هو ببساطة أ. هذا صحيح فقط بالنسبة للمدارات الدائرية (ه = 0) حيث يحافظ الكوكب على مسافة ثابتة من الشمس ، وهذه المسافة هي أ.

دعونا نتخيل كوكبًا افتراضيًا يشبه إلى حد كبير الأرض التي لها مدار دائري تمامًا حول الشمس مع أ = 1.0 AU و ه = 0. من السهل أن نرى في هذه الحالة أنه في جميع الأوقات ، سيكون الكوكب بالضبط 1.0 AU من الشمس.

ومع ذلك ، إذا كان الكوكب يدور حول الشمس في مدار إهليلجي عند أ = 1 AU و ه & gt 0 ، نجد أن الكوكب يدور بشكل أبطأ عندما يكون بعيدًا عن الشمس مما هو عليه عندما يكون بالقرب من الشمس. لذا ، تتوقع & # 8217d أن ترى متوسط ​​المسافة الزمنية أكبر من 1.0 AU. هذا هو الحال بالفعل.

تعطينا العناصر المدارية المتذبذبة الحالية لـ Earth & # 8217s:

أ = 0.999998 و ه = 0.016694

متوسط ​​المسافة بين Earth & # 8217s والشمس هو:

عطارد ، الكوكب الأعمق ، لديه أكثر المدارات انحرافًا بين جميع الكواكب الرئيسية


إجابتك لا معنى لها إلا إذا حددت ما هي الوحدات الموجودة فيه.

على افتراض أنك تقصد كلم ، فمن الواضح أن إجابتك خاطئة.

إجابتك لا معنى لها إلا إذا حددت ما هي الوحدات الموجودة فيه.

على افتراض أنك تقصد كلم ، فمن الواضح أن إجابتك خاطئة.

يمكن لأي شخص أن يساعدني في ذلك؟

يمكن لأي شخص أن يساعدني في ذلك؟

بالتأكيد. هل يمكنك أن تبين لنا الخطوات التي استخدمتها لحساب مسافة الحضيض الشمسي؟

تحتاج أولاً إلى حساب 1-e. ثم تحتاج إلى ضرب نتيجة ذلك في (المحور شبه الرئيسي للمدار).

إليك تلميح: في هذا المثال ، e هو رقم صغير جدًا ، متفق عليه؟ لذلك ، يجب أن تكون 1-e قريبة إلى حد ما من 1. إذا كان هذا صحيحًا ، فيجب أن تكون a * (1-e) قريبة إلى حد ما من a. يجب أن تكون الإجابة التي تحصل عليها قريبة من طول المحور شبه الرئيسي. بمعنى آخر ، لا تنحرف أقرب مسافة بين الأرض والشمس كثيرًا عن متوسط ​​المسافة بين الأرض والشمس. حقيقة أن المسافة بين الأرض والشمس لا تتغير كثيرًا أثناء دورانها حول مدارها تشير إلى أن المدار لا ينحرف كثيرًا عن الاستدارة. بمعنى آخر ، إنها ليست بيضاوية للغاية (تذكر أن e = 0 ستكون دائرة كاملة ، لذا فإن e الصغيرة جدًا تعني قريبًا من دائري).

احسب المسافة بين الأرض والشمس أثناء الحضيض الشمسي (عند أقرب اقتراب للأرض) يحتوي مدار الأرض على محور شبه رئيسي يساوي 1.496 × 108 كم و
الانحراف المركزي لـ e = 0.017. هل مدار الأرض بعيد عن الدوران؟ يشرح.

الصيغة المستخدمة هي: rP = a (1 - e)

ذهبت (1 - هـ) والذي سيكون 1 - 0.017 صحيح؟

ثم ذهبت للتو إلى x 0.017 = 2.74

احسب المسافة بين الأرض والشمس أثناء الحضيض الشمسي (عند أقرب اقتراب للأرض) يحتوي مدار الأرض على محور شبه رئيسي يساوي 1.496 × 108 كم و
الانحراف المركزي لـ e = 0.017. هل مدار الأرض بعيد عن الدوران؟ يشرح.

الصيغة المستخدمة هي: rP = a (1 - e)

ذهبت (1 - هـ) والذي سيكون 1 - 0.017 صحيح؟

ثم ذهبت للتو إلى x 0.017 = 2.74

نعم ، (1 - هـ) = (1 - 0.017) = 0.983. هذا صحيح.

إنه الجزء التالي الذي لا معنى له. الصيغة هي * (1-e) ، ولكن لسبب ما قمت بتدوين حرف a * e. لا افهم لماذا. ليس هذا فقط ، ولكن الإجابة غير منطقية أيضًا. يرجى التعود على تضمين الوحدات في جميع خطوات الحساب الخاصة بك. فمن الأهمية بمكان.


الحذف في الفيزياء

العاكسات البيضاوية والصوتيات

إذا كان سطح الماء مضطربًا عند بؤرة واحدة لخزان ماء بيضاوي ، فإن الموجات الدائرية الناتجة عن هذا الاضطراب ، بعد انعكاسها بواسطة الجدران ، سوف تتقارب في وقت واحد إلى نقطة واحدة & # 8212 البؤرة الثانية. هذا نتيجة لأن طول السفر الإجمالي هو نفسه على طول أي مسار ارتداد الجدار بين البؤرتين.

وبالمثل ، إذا تم وضع مصدر الضوء في بؤرة واحدة لمرآة إهليلجية ، فإن جميع أشعة الضوء الموجودة على مستوى القطع الناقص تنعكس على البؤرة الثانية. نظرًا لعدم وجود منحنى أملس آخر له مثل هذه الخاصية ، يمكن استخدامه كتعريف بديل للقطع الناقص. (في حالة خاصة لدائرة بها مصدر في مركزها ، فإن كل الضوء ينعكس مرة أخرى إلى المركز.) إذا تم تدوير القطع الناقص على طول محوره الرئيسي لإنتاج مرآة بيضاوية الشكل (على وجه التحديد ، كروي متكاثف) ، فإن هذه الخاصية سوف احتفظ بجميع الأشعة خارج المصدر. بدلاً من ذلك ، يمكن استخدام مرآة أسطوانية ذات مقطع عرضي بيضاوي لتركيز الضوء من مصباح فلورسنت خطي على طول خط من الورق ، تُستخدم هذه المرايا في بعض ماسحات المستندات.

تنعكس الموجات الصوتية بطريقة مماثلة ، لذلك في غرفة بيضاوية كبيرة ، يمكن للشخص الذي يقف عند تركيز واحد أن يسمع شخصًا يقف عند التركيز الآخر جيدًا بشكل ملحوظ. التأثير أكثر وضوحا تحت سقف مقبب على شكل مقطع من كروي متكثف. تسمى هذه الغرفة أ غرفة الهمس. يمكن إظهار نفس التأثير من خلال عاكسين على شكل أغطية نهائية لمثل هذا الشكل الكروي ، وموضعهما في مواجهة بعضهما البعض على مسافة مناسبة. ومن الأمثلة على ذلك قاعة التماثيل الوطنية في مبنى الكابيتول الأمريكي (حيث يُقال إن جون كوينسي آدامز استخدم هذه الخاصية للتنصت على المسائل السياسية) ، في معرض عن الصوت في متحف العلوم والصناعة في شيكاغو ، أمام جامعة إلينوي في قاعة Urbana-Champaign Foellinger ، وكذلك في غرفة جانبية من قصر تشارلز الخامس ، في قصر الحمراء.

مدارات الكواكب

في القرن السابع عشر ، أوضح يوهانس كيبلر أن المدارات التي تسير على طولها الكواكب حول الشمس هي أشكال بيضاوية في قانونه الأول لحركة الكواكب. في وقت لاحق ، شرح إسحاق نيوتن هذا على أنه نتيجة طبيعية لقانونه للجاذبية الكونية.

بشكل عام ، في مشكلة الجاذبية الجسدية ، إذا كان الجسمان مرتبطين ببعضهما البعض (أي الطاقة الكلية سالبة) ، فإن مداراتهما متشابهة مع كون المركز الباري المشترك أحد بؤر كل قطع ناقص. التركيز الآخر لأي من القطع الناقص ليس له أهمية فيزيائية معروفة. ومن المثير للاهتمام أن مدار أي من الجسمين في الإطار المرجعي للآخر هو أيضًا قطع ناقص ، مع وجود الجسم الآخر عند بؤرة واحدة.

مدارات كبلر الإهليلجية هي نتيجة أي قوة جذب شعاعية تتناسب قوتها عكسياً مع المسافة. وبالتالي ، من حيث المبدأ ، فإن حركة جسيمين مشحونين بشكل معاكس في الفضاء الفارغ ستكون أيضًا قطع ناقص. (ومع ذلك ، فإن هذا الاستنتاج يتجاهل الخسائر الناجمة عن الإشعاع الكهرومغناطيسي والتأثيرات الكمية التي تصبح مهمة عندما تتحرك الجسيمات بسرعة عالية).

مذبذبات توافقية

الحل العام للمذبذب التوافقي في بعدين أو أكثر هو أيضًا القطع الناقص. هذا هو الحال ، على سبيل المثال ، للبندول الطويل الذي يتحرك بحرية في بعدين ، أو كتلة متصلة بنقطة ثابتة بواسطة زنبرك مرن تمامًا. على عكس مدارات كبلر ، فإن هذه "المدارات التوافقية" لها مركز جذب في المركز الهندسي للقطع الناقص ، ولها معادلات حركة بسيطة إلى حد ما.

تصور المرحلة

في الإلكترونيات ، يمكن مقارنة الطور النسبي لاثنين من الإشارات الجيبية عن طريق تغذيتهما بالمدخلات الرأسية والأفقية لجهاز الذبذبات. إذا كان العرض عبارة عن قطع ناقص ، وليس خطًا مستقيمًا ، فإن الإشارتين خارج الطور.

التروس البيضاوية

اثنين من التروس مع نفس المخطط الإهليلجي ، كل محور حول تركيز واحد وموضع في الزاوية المناسبة ، سوف يدوران بسلاسة مع الحفاظ على الاتصال في جميع الأوقات. بدلاً من ذلك ، يمكن توصيلها بواسطة سلسلة ربط أو حزام توقيت. يمكن استخدام هذه التروس البيضاوية في المعدات الميكانيكية لتغيير عزم الدوران أو السرعة الزاوية أثناء كل منعطف لمحور القيادة.

بصريات

في مادة متباينة الخواص بصريًا (ثنائية الانكسار) ، يعتمد معامل الانكسار على اتجاه الضوء. يمكن وصف التبعية بمؤشر بيضاوي الشكل. (إذا كانت المادة متناحية بصريًا ، فإن هذا الشكل الإهليلجي عبارة عن كرة.)


هامبورغ: فريدريش بيرتيس و آي.إتش. بيسر ، 1809.

الطبعة الأولى من العمل الذي "مع الاكتشافات [الحساب، 1801] ، رسخ سمعته باعتباره عبقريًا رياضيًا وعلميًا من الدرجة الأولى ”(DSB). "ال ثيوريا موتوس ستُصنف دائمًا بين تلك الأعمال العظيمة التي يشكل ظهورها حقبة في تاريخ العلم الذي يشيرون إليه. العمليات المفصلة فيه لا تقل أهمية عن الأصالة والاكتمال عن الشكل المختصر والأنيق الذي عرضها المؤلف بها. في الواقع ، يمكن اعتباره الكتاب المدرسي الذي اشتُق منه أساسًا أساليب البحث القوية والمكررة التي تميز علم الفلك الألماني وممثليه في القرن التاسع عشر ، بيسيل ، هانسن ، ستروف ، إنكي ، وجيرلينج ... كان ذلك قبل أربعين عامًا طرق ثيوريا موتوس أصبحت ملكية مشتركة لجميع علماء الفلك "(دوننغتون ، كارل فريدريش جاوس : تيتان للعلوم (2004) ، ص. 91). "في هذا العمل ، طور غاوس بشكل منهجي طريقة حساب المدار من ثلاث ملاحظات كان قد ابتكرها في عام 1801 لتحديد موقع كوكب سيريس ، أول كوكب اكتشف من" الكويكبات "، والذي تم اكتشافه وفقده بواسطة جي. بيازي في يناير 1801. غاوس تنبأ بمكان وجود الكوكب بعد ذلك ، باستخدام طرق عددية محسنة تعتمد على المربعات الصغرى ، ونظرية مدار أكثر دقة تعتمد على القطع الناقص بدلاً من التقريب الدائري المعتاد. مكّنت حسابات جاوس ، التي اكتملت في عام 1801 ، عالم الفلك هاينريش دبليو إم أولبرز من العثور على سيريس في الموضع المتوقع ، وهو إنجاز رائع عزز سمعة غاوس باعتباره عبقريًا في الرياضيات والعلم. وجد جاوس الشهرة التي اكتسبها عمله الفلكي بالنسبة له جذابة للغاية لدرجة أنه قرر مهنة في علم الفلك ، وأصبح مديرًا لمرصد غوتنغن في عام 1807 (نورمان). بالإضافة إلى توفير أداة لعلماء الفلك ، قدمت طريقة جاوس لحساب المدار أيضًا طريقة لتقليل عدم دقة الحسابات الناشئة عن خطأ القياس - طريقة المربعات الصغرى ، "آلية التحليل الإحصائي الحديث" وأصل "الأكثر شهرة الخلاف حول الأولوية في تاريخ الإحصاء ”(ستيجلر). نشر عالم الرياضيات الفرنسي أدريان ماري ليجيندر طريقة المربعات الصغرى ، وإن كانت بدون مبرر ، في عام 1805 في كتابه Nouvelles Méthodes pour la détermination des orbites des comète، لكن جاوس يذكر في العمل الحالي أنه كان لديه الطريقة منذ عام 1795.

"في الأول من يناير 1801 ، اكتشف جوزيبي بيازي في باليرمو مذنبًا أو كوكبًا في كوكبة برج الثور ، لا يمكن اكتشافه إلا عن طريق التلسكوب. لاحظ ذلك حتى 11 فبراير ، عندما توقف المرض عن ملاحظاته. أبلغ ثلاثة علماء فلك باكتشافه ، وفي مايو أرسل ملاحظاته التفصيلية إلى ج. لالاند في باريس يطلب تأجيل النشر.

"منذ سبعينيات القرن الثامن عشر ، كان عالما الفلك ، جي إي بود من برلين وفرانز زافير فون زاك (1754-1832) من جوتا ، قد استمتعوا بفكرة وجود كوكب مفقود بين المريخ والمشتري. سلسلة عددية ترجع إلى JD Titius ، التي نشرها Bode في عام 1772 ، أعطت متوسطًا تقريبيًا للمسافات الشمسية للكواكب المعروفة ، لكنها توقعت وجود كوكب في هذه "الفجوة". وقد تلقى تأكيدًا مفاجئًا في عام 1781 باكتشاف كوكب أورانوس ، وهو كوكب كان نصف قطر مداره شبه الدائري قريبًا من المصطلح التالي بعد زحل في السلسلة. في خريف 1800 شكل زاك وغيره من علماء الفلك الألمان مجتمعًا لتعزيز البحث المنهجي عن الكوكب المفقود.

"في ربيع عام 1801 ، ظهر السؤال: هل يمكن أن يكون" مذنب "بيازي هو المحجر المطلوب؟ يجب إعادة اكتشافه! من شهر حزيران (يونيو) فصاعدًا ، كانت تقارير زاك الشهرية في دورية نشرها ، و Monatliche Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Himmels-Kunde (فيما بعد ،MC") حسابًا مستمرًا للبحث.

أشار عدد يوليو إلى جهود جيه سي بوركهارت ، في باريس ، لوضع مدار لرصد بياتسي. وجد بوركهارت أن المدارات المكافئة كانت مدارات دائرية غير مرضية يمكن أن تستوعب المزيد من البيانات. اقترح مدارًا إهليلجيًا تقريبيًا ، ولكن بالاتفاق مع P. لابلاس (1749-1827) ، أن تحديد المدار بدقة يتطلب المزيد من الملاحظات.

"خلال أواخر الصيف والخريف ، حال الطقس الغائم دون إجراء بحث منهجي. في عدد سبتمبر ، نشر زاك ملاحظات بيازي المنقحة. Gauss ، أحد المشتركين في MC، تعيين حول تحديد المدار.

“عدد نوفمبر من MC تحتوي على مراجعة لمذكرات بيازي عن اكتشافه. وجد مسارات قطع مكافئ ميؤوس منها ، فقد اشتق مدارين دائريين بنصف قطر 2.7067 و 2.68626 وحدة فلكية. من الثاني من هذه ، قام زاك بحساب التقويم الفلكي لشهري نوفمبر وديسمبر. سمى بيازي الكوكب سيريس فرديناندي، وبالتالي تكريم حاكم صقلية.

"تلقى زاك الآن نتائج غاوس ، وكرس لهم تقريره بالكامل في عدد ديسمبر. قام جاوس بحساب أربعة مدارات بيضاوية مختلفة ، كل منها يعتمد على ثلاثية مختلفة من الملاحظات ، كانت المجموعات الأربع من العناصر في اتفاق قريب مع بعضها البعض ، ومع الملاحظات التسعة عشر التي اعتبرها بيازي غير مشكوك فيها. وضع غاوس الكوكب في كانون الثاني (يناير) 1801 حول رباعي الأوج الماضي وخصص له انحرافًا أعلى بكثير مما كان عليه بوركهارت ، لذلك في ديسمبر 1801 سيكون الكوكب أبعد بمقدار 6 درجات أو 7 درجات شرقاً عن أي مدارات مقترحة أخرى. أعطى مناصب لسيريس على فترات 6 أيام من 25 نوفمبر إلى 31 ديسمبر.

"استمر الطقس غير مألوف. كما ذكر زاك في عدد يناير 1802 من MC، في ساعات الصباح الباكر من 7 إلى 8 ديسمبر سجل نجمًا قريبًا جدًا من توقعات غاوس لسيريس ، لكن سوء الأحوال الجوية في الليالي التالية حال دون التحقق.

"كما أفاد في عدد فبراير 1802 ، في وقت مبكر من 1 يناير اكتشف زاك الكوكب على بعد 6 درجات شرق موقعه في ديسمبر ، وخلال شهر يناير تابع حركته ، والتي اتفقت بشكل وثيق مع عناصر جاوس المدارية. كما أعاد فيلهلم أولبيرز (1758-1840) اكتشاف الكوكب ، ونقل الحقيقة إلى الصحف ، حيث قرأ غاوس عنها. كان القطع الناقص لغاوس دقيقًا بشكل مذهل. "بدون الجهود والحسابات البارعة للدكتور جاوس ، ربما لم يكن علينا العثور على سيريس مرة أخرى الجزء الأكبر والأجمل من الإنجاز الذي ينتمي إليه" (كتابات لاندمارك في الرياضيات الغربية 1640-1940، ص 317-8).

وفقًا لكبلر ، فإن مدار جرم سماوي هو مقطع مخروطي مع التركيز على مركز الشمس. لتحديد مداره ، يلزم وجود خمس معلمات ، أو عناصر ، وهي: معلمتان تحددان موضع مستوى مدار الجسم بالنسبة إلى مدار الأرض ، المقياس النسبي للمدار ، وانحراف المدار أو المسافة المحيطة ، وهي أقصر مسافة من المدار إلى مركز الشمس و "الميل" النسبي للمحور الرئيسي للمدار. بالإضافة إلى هذه المعلمات الخمس ، هناك حاجة إلى مرة واحدة عندما يكون الجسم في نقطة معينة في المدار ، بحيث يمكن حساب موقعه في وقت معين. كان لدى Gauss إجمالي 22 ملاحظة قام بها Piazzi على مدار 41 يومًا. تتكون البيانات من هذه الملاحظات من لحظة زمنية محددة مع زاويتين تحددان الاتجاه الذي شوهد فيه الجسم بالنسبة لنظام مرجعي فلكي محدد بواسطة مجال النجوم الثابتة. من حيث المبدأ ، حددت كل من هذه الملاحظات خطًا في الفضاء ، بدءًا من موقع موقع Piazzi في لحظة المراقبة وموجهًا على طول الاتجاه المحدد بواسطة الزاويتين. كان على جاوس إجراء تصحيحات لتأثيرات مختلفة مثل دوران محور الأرض ، وحركة مدار الأرض حول الشمس ، والأخطاء المحتملة في ملاحظات بيازي أو في نسخها. بدأ جاوس بتحديد تقريب تقريبي للمدار المجهول ، ثم صقله إلى درجة أعلى من الدقة. استخدم غاوس في البداية ثلاثة فقط من ملاحظات بيازي البالغ عددها 22 ملاحظة ، تلك من 1 يناير و 21 يناير و 11 فبراير. وأظهرت الملاحظات حركة رجعية واضحة من 1 يناير إلى 11 يناير ، وهو الوقت الذي انعكس فيه سيريس إلى حركة أمامية. اختار غاوس إحدى المسافات غير المعروفة ، تلك المقابلة للموضع الوسيط للملاحظات هناك ، كهدف لجهوده. بعد الحصول على هذه القيمة المهمة ، حدد مسافات الملاحظات الأولى والثالثة ، ومن تلك المواقع المكانية المقابلة لسيريس. من المواقع المكانية ، قام غاوس بحساب أول تقريب لعناصر المدار. باستخدام هذا الحساب المداري التقريبي ، يمكنه بعد ذلك مراجعة الحساب الأولي للمسافات للحصول على مدار أكثر دقة ، وما إلى ذلك ، حتى تصبح جميع القيم في الحساب متماسكة مع بعضها البعض ومع الملاحظات الثلاثة المختارة. عدلت التحسينات اللاحقة في حسابه المعلمات الأولية لتناسب جميع ملاحظات Piazzi بشكل أكثر سلاسة.

أرسل جاوس مخطوطة تلخص أساليبه في رسالة إلى أولبيرس بتاريخ 6 أغسطس 1802 ، بعد سبعة أشهر فقط من اكتشاف سيريس ، تم نشرها بعد سبع سنوات فقط في عدد سبتمبر 1809 من MC. بحلول هذا الوقت ، كان جاوس قد صقل أساليبه في حساب المدار لدرجة أنه كتب في المقدمة ثيوريا موتوس أنه "نادرًا ما يتبقى أي أثر تشابه بين الطريقة التي تم بها حساب مدار سيريس لأول مرة والشكل الوارد في هذا العمل."

"في عام 1809 ، نشر بائع الكتب بيرثيس هامبورغ كتاب غاوس Theoria motus corporum coelestium في القسم المخروطي الشكل المحيط السليم. يحتوي الكتاب ... على مجموع عمل غاوس في علم الفلك النظري ، لكنه لا يصف دائمًا الأساليب الفعلية التي استخدمها غاوس في بحثه. يحب الاكتشافات الحسابية, ثيوريا موتوس تم نشره باللغة اللاتينية Gauss وقد كتبه باللغة الألمانية ولكن كان عليه أن يترجمه لأن بيرثيس اعتقد أنه سيباع بشكل أفضل. موضوع ثيوريا موتوس هو تحديد المدارات الإهليلجية والقطعية للكواكب والمذنبات من الحد الأدنى من الملاحظات وبدون أي افتراض لا لزوم له أو لا أساس له ... ثيوريا موتوس نظامي إلى حد كونه متحذلقًا ، فهو يتكون من كتابين ، أحدهما يحتوي على مواد أولية والآخر يحتوي على حل للمشكلة العامة. The work is the first rigorous account of Gauss’s methods for calculating the orbits of celestial bodies, directly deduced from Kepler’s laws. Up to Gauss’s time, astronomers used ad hoc methods which varied from case to case, despite the fact that the theoretical foundations had been clear for more than 100 years. Gauss’s essential contribution consisted in a combination of thorough theoretical knowledge, the unusual algebraic facility with which he handled the considerable complications which occur in a direct development of these equations, and his practical astronomical experience” (Bühler, Gauss).

“It was Gauss in his Theoria motus who first connected probability theory to the method of least squares … The Theoria motus, which was written to explain how to calculate planetary positions, came into being because the methods available to the astronomers of the eighteenth century were not adequate to determine the orbit of the planet Ceres … Against this background it was natural for Gauss to concern himself with the problem of how to use redundant observations. It seems clear that the more observations available the more accurately will the orbit be known. Gauss said on the subject: ‘But in such a case, if it is proposed to aim at the greatest precision, we shall take care to collect and employ the greatest possible number of accurate places. Then, of course, more data will exist than are required: but all these data will be liable to errors, however small, so that it will generally be impossible to satisfy all perfectly. Now as no reason exists, why, from among those data, we should consider any six as absolutely exact, but since we must assume, rather, upon the principles of probability, that greater or less errors are equally possible in all, promiscuously since, moreover, generally speaking, small errors oftener occur than large ones it is evident, that an orbit which, while it satisfies precisely six data, deviates more or less from the others, must be regarded as less consistent with the principles of the calculus of probabilities, than one which, at the same time that it differs a little from those six data, presents so much the better an agreement with the rest. The investigation of an orbit having, strictly speaking, the maximum probability, will depend upon a knowledge of the law according to which the probability of errors decreases as the errors increase in magnitude: but that depends upon so many vague and doubtful considerations — physiological included — which cannot be subjected to calculation, that it is scarcely, and indeed less than scarcely, possible to assign properly a law of this kind, in any case of practical astronomy. Nevertheless, an investigation of the connection between this law and the most probable orbit, which we will undertake in its utmost generality, is not to be regarded as by any means a barren speculation’ (Goldstine, A History of Numerical Analysis from the 16th through the 19th Century , pp. 212-3).

In Section 186 of the present work, “Gauss writes: “Our principle, which we have made use of since the year 1795, has lately been published by Legendre in the work Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes, Paris, 1806, where several other properties of this principle have been explained, which, for the sake of brevity, we here omit.”

“The Theoria motus was originally written in German and completed in the autumn of 1806. In July 1806 Gauss had for some weeks at his disposal a copy of Legendre’s book before it was sent to Olbers for reviewing. It was not until 1807 that Gauss finally found a publisher, who, however, required that the manuscript should be translated into Latin. Printing began in 1807 and the book was published in 1809. Gauss had thus ample time to elaborate on the formulation of the relation of his version of the method of least squares to that of Legendre, if he had wished so.

“Gauss’s use of the expression “our principle” naturally angered Legendre who expressed his feelings in a letter to Gauss dated May 31, 1809. The original is in the Gauss archives at Gottingen it contains the following statement: “It was with pleasure that I saw that in the course of your meditations you had hit on the same method which I had called Méthode des moindres quarrés in my memoir on comets. The idea for this method did not call for an effort of genius however, when I observe how imperfect and full of difficulties were the methods which had been employed previously with the same end in view, especially that of M. La Place, which you are justified in attacking, I confess to you that I do attach some value to this little find. I will therefore not conceal from you, Sir, that I felt some regret to see that in citing my memoir p. 221 you say principium nostrum quojam inde ab anno 1795 usi sumus etc. There is no discovery that one cannot claim for oneself by saying that one had found the same thing some years previously but if one does not supply the evidence by citing the place where one has published it, this assertion becomes pointless and serves only to do a disservice to the true author of the discovery.”

“It therefore became important for Gauss to get his claim of having used the method of least squares since 1795 corroborated. He wrote to Olbers in 1809 asking whether Olbers still remembered their discussions in 1803 and 1804 when Gauss had explained the method to him. In 1812 he again wrote to Olbers saying “Perhaps you will find an opportunity sometime, to attest publicly that I already stated the essential ideas to you at our first personal meeting in 1803.” In an 1816 paper Olbers attested that he remembered being told the basic principle in 1803.

“In 1811 Laplace brought the matter of priority before Gauss, who answered that “I have used the method of least squares since the year 1795 and I find in my papers, that the month of June 1798 is the time when I reconciled it with the principle of the calculus of probabilities.” [In his Théorie analytique des probabilités (1812)] Laplace writes that Legendre was the first to publish the method, but that we owe Gauss the justice to observe that he had the same idea several years before, that he had used it regularly, and that he had communicated it to several astronomers” (Hald, pp. 394-5).

“The heat of the dispute never reached that of the Newton − Leibniz controversy, but it reached dramatic levels nonetheless. Legendre appended a semi-anonymous attack on Gauss to the 1820 version of his Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes, and Gauss solicited reluctant testimony from friends that he had told them of the method before 1805. A recent study of this and further evidence suggests that, although Gauss may well have been telling the truth about his prior use of the method, he was unsuccessful in whatever attempts he made to communicate it before 1805. In addition, there is no indication that he saw its great general potential before he learned of Legendre’s work. Legendre’s 1805 appendix, on the other hand, although it fell far short of Gauss's work in development, was a dramatic and clear proclamation of a general method by a man who had no doubt about its importance” (Stigler).

Dibner 114n Norman 879 Sparrow, Milestones of Science 81 PMM 257n. Hald, A History of Mathematical Statistics from 1750 to 1930, 1998. Stigler, A History of Statistics, 1986 (see pp. 12-15, 55-61 & 145-6).

Large 4to (296 x 236 mm), pp. [i-iii], iv-xi, [1], [1], 2-227, [1, errata], 1-20 (tables) and one engraved plate (occasional minor stains). Contemporary calf-backed marbled boards.


شاهد الفيديو: شرح أداة تحليل المسافة المعيارية Standard Distance في Arc map (شهر اكتوبر 2021).